Question

Selesaikan sistem persamaan linear di bawah menggunakan eliminasi Gauss
2x −y + z − 3w = 0
x + 2y − 4z + w = 1
−x + 3y + z = 2
− 3z + 4w = 3​

Answer 1

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan eliminasi Gauss:

1. Tulis matriks augmented dari sistem persamaan linear.

2. Gunakan operasi baris elementer untuk mentransformasi matriks menjadi bentuk eselon baris.

3. Gunakan substitusi balik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Matriks augmented dari sistem persamaan linear yang diberikan adalah sebagai berikut:

$$\begin{bmatrix}2 & -1 & 1 & -3 & 0\\1 & 2 & -4 & 1 & 1\\-1 & 3 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & -3 & 4 & 3\end{bmatrix}$$

Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita dapat mentransformasi matriks menjadi bentuk eselon baris sebagai berikut:

$$\begin{bmatrix}2 & -1 & 1 & -3 & 0\\0 & \frac{5}{2} & -\frac{9}{2} & \frac{7}{2} & 1\\0 & 0 & -\frac{20}{5} & \frac{11}{5} & \frac{8}{5}\\0 & 0 & 0 & \frac{13}{4} & \frac{9}{4}\end{bmatrix}$$

Dengan menggunakan substitusi balik, kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linear sebagai berikut:

$$w = \frac{9}{13}$$

$$z = -\frac{1}{5}$$

$$y = \frac{4}{13}$$

$$x = \frac{1}{13}$$

Jadi, solusi dari sistem persamaan linear yang diberikan adalah $x = \frac{1}{13}$, $y = \frac{4}{13}$, $z = -\frac{1}{5}$, dan $w = \frac{9}{13}$.

Eliminasi Gauss adalah algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Algoritma ini terdiri dari serangkaian operasi yang dilakukan pada matriks koefisien dari sistem persamaan linear. Algoritma ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan ukuran kecil sampai sedang. Metode ini juga digunakan dalam bidang astronomi untuk menyelesaikan persamaan linear. Terdapat beberapa sumber yang dapat digunakan untuk mempelajari eliminasi Gauss, seperti artikel di situs universitas, video tutorial di YouTube, dan lain sebagainya.