Una escalera de 41 pies de largo descansa sobre una pared vertical, cuando comienza a resbalar. Su parte superior se desliza hacia abajo sobre la pared, mientras que su parte inferior se mueve sobre el piso a una velocidad constante de 10 pies/seg. ¿Qué tan rápido se mueve la parte superior de la escalera cuando está a 19 pies del suelo?
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El extremo de la escalera desciende a razón de 19.12 pies por segundo, aproximadamente.
Explicación paso a paso:
Del planteamiento se entiende que las distancias
x = distancia de la base de la escalera a la pared
y = altura de la pared donde se apoya el extremo superior de la escalera,
son variables y que lo hacen en función del tiempo; además sabemos que las podemos relacionar por medio del Teorema de Pitágoras:
(Hipotenusa)² = (Cateto Opuesto)² + (Cateto Adyacente)²
En el caso que nos ocupa:
(41)² = (x)² + (y)²
La velocidad de cambio de la distancia sobre la pared en el tiempo no es más que la derivada implícita con respecto al tiempo t:
d[(41)²]/dt = d[(x)²]/dt + d[(y)²]/dt ⇒
0 = 2x dx/dt + 2y dy/dt ⇒ dy/dt = (-x/y) dx/dt
Vamos a calcular el valor de x para las condiciones dadas:
(41)² = (19)² + (x)² ⇒ 1681 = 361 + (x)² ⇒ x = 2√330 pies
Finalmente calculamos dy/dt sustituyendo los valores conocidos en la función derivada:
dy/dt = -[(2√330)/(19)](10) ≈ -19.12 pies/seg
El extremo de la escalera desciende a razón de 19.12 pies por segundo, aproximadamente.