Question

Sebuah tabung memiliki volume 224π cm³. Selish antara tinggi dan diameter nya 6 cm. Jika tinggi tabung lebih panjang daripada diameter nya, tentukan panjang jari-jari nya

Answer 1

Verified answer

Bangun Ruang

Tabung

V = 224π cm³

d = t - 6 cm

t = d + 6 cm

V = 1/4 πdt

224π = 1/4 πd²(d + 6)

d²(d + 6) = 4 × 224

d²(d + 6) = 4 × 16 × 14

d²(d + 6) = 64 × 14

d²(d + 6) = 8²(8 + 6)

nilai diameter yg memenuhi :

d = 8 cm

Panjang jari-jari :

r = d/2 = 8/2 = 4 cm

Answer 2

Sebuah tabung memiliki volume 224π cm³. Selisih antara tinggi dan diameternya 6 cm. Jika tinggi tabung lebih panjang daripada diameter nya, maka panjang jari-jarinya adalah 4 cm.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

[tex]|t-d|=6[/tex] dengan [tex]t > d[/tex].
⇒ [tex]t-d=6[/tex]  ⇒  [tex]t = d+6[/tex]

Maka:

[tex]\begin{aligned}V_{\sf tabung}&=\pi r^2t\\r^2&=\frac{V_{\sf tabung}}{\pi t}\\&=\frac{224\cancel{\pi}}{\cancel{\pi}(d+6)}\\&=\frac{224}{2r+6}\\r^2&=\frac{112}{r+3}\end{aligned}[/tex]

[tex]\begin{aligned}r^3+3r^2&=112\\r^3+3r^2-112&=0\end{aligned}[/tex]

Berdasarkan teorema akar rasional, karena koefisien [tex]r^3[/tex] adalah 1, terdapat [tex]r[/tex] yang merupakan faktor positif atau negatif dari 112, yaitu [tex]r\in\pm\{1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112\}[/tex] yang merupakan akar dari persamaan [tex]r^3+3r^2-112=0[/tex].
Setelah mencoba-coba, ditemukan [tex]r=4[/tex], karena [tex]64+48-112=0[/tex].

Maka, faktorkan terhadap [tex](r-4)[/tex].

[tex]\begin{aligned}&r^3+3r^2-112=0\\&\Rightarrow (r-4)\left(r^2+7r+28\right)=0\\&\Rightarrow r=4\ \:{\sf atau}\:\ r^2+7r+28=0\end{aligned}[/tex]

Untuk [tex]r^2+7r+28=0[/tex], nilai diskriminannya adalah:

[tex]\begin{aligned}D&=b^2-4ac\\&=49-4\cdot128\\\Rightarrow D& < 0\end{aligned}[/tex]

Sehingga, untuk [tex]r^2+7r+28=0[/tex], [tex]r \not\in \mathbb{R}[/tex], sedangkan yang kita cari adalah nilai [tex]r\in\mathbb{R}[/tex]. Jadi, nilai [tex]r[/tex] yang memenuhi adalah 4.

Pemeriksaan

Jika [tex]r[/tex] = 4 cm, maka [tex]d[/tex] = 8 cm, sehingga [tex]t[/tex] = 14 cm. Maka:

[tex]\begin{aligned}V_{\sf tabung}&=\pi\cdot4^2\cdot14\\&=\pi\cdot16\cdot14\\&=\pi\cdot(160+64)\\V_{\sf tabung}&=224\pi\ {\rm cm}^3\end{aligned}[/tex]
⇒ Benar sesuai yang diketahui.

KESIMPULAN
∴ Dengan demikian, panjang jari-jari tabung tersebut adalah 4 cm.
[tex]\blacksquare[/tex]