Question

Sebuah persegi panjang dengan ukuran panjang dan lebarnya adalah (8-x) cm dan (2x+3) cm. Hitunglah luas maksimum persegi panjang tersebut​

Answer 1

Verified answer

Misalkan dua fungsi sebagai berikut.

[tex] \begin{aligned} &» \: p(x) = 8-x \\ &» \: \ell (x) = 2x+3 \end{aligned} [/tex]

Fungsi luas persegi panjang adalah perkalian fungsi panjang [tex] p(x) [/tex] dengan fungsi lebar [tex]\ell(x). [/tex] Sehingga berlaku:

[tex] \begin{aligned} L(x) &= p(x)\cdot \ell(x) \\ &= (8-x) (2x+3) \\ &= -2x^2+13x+24 \end{aligned} [/tex]

Tentukan turunan [tex] L(x). [/tex]

[tex] \begin{aligned} L(x) &= -2x^2+13x+24 \\ &\downarrow \\ L'(x) &= 2\cdot (-2x^{2-1})+1\cdot 13x^{1-1}+0 \\ &= -4x+13 \end{aligned} [/tex]

Nilai maksimum dari [tex] L(x) [/tex] adalah ketika grafik stasioner. Syarat stasioner adalah [tex] L'(x)=0. [/tex] Sehingga berlaku:

[tex] -4x+13 = 0 \; \Leftrightarrow \; x = \dfrac{ 13}{ 4} [/tex]

Substitusi [tex] x= \frac{ 13}{4}[/tex] ke fungsi [tex] L(x). [/tex]

[tex] \begin{aligned} L\left(\frac{13 }{4 }\right) &= -2\left(\frac{13}{4}\right)^2+13\left(\frac{13 }{ 4}\right)+24 \\ &= -2 \left(\frac{169 }{ 16}\right) + \frac{169 }{4 }+24 \\ &= -\frac{169 }{8 }+ \frac{ 338}{ 8} + \frac{192 }{ 8} \\ &= \frac{361 }{8 } \\ &= 45{,}125 \end{aligned} [/tex]

Sehingga, luas maksimum persegi panjang tersebut adalah [tex] 45{,}125 \text{ cm}^2.[/tex]