Sebelas tim sepak bola akan bertanding satu dengan yang lain dalam sebuah turnamen.
Setiap tim akan bertanding dengan sepuluh tim yang lain sebanyak tepat satu kali. Tim yang
menang dalam sebuah pertandingan akan mendapatkan 5 poin, sedangkan yang kalah
mendapatkan 0 poin. Bila seri maka kedua tim akan mendapatkan 1 buah poin. Berapa
banyak total point yang mungkin terjadi jika jumlah dari poin yang didapatkan oleh semua tim
tersebut antara 100 sampai dengan 210?
Setiap tim akan bertanding dengan sepuluh tim yang lain sebanyak tepat satu kali. Tim yang
menang dalam sebuah pertandingan akan mendapatkan 5 poin, sedangkan yang kalah
mendapatkan 0 poin. Bila seri maka kedua tim akan mendapatkan 1 buah poin. Berapa
banyak total point yang mungkin terjadi jika jumlah dari poin yang didapatkan oleh semua tim
tersebut antara 100 sampai dengan 210?
Verified answer
Banyak total point yang mungkin terjadi jika jumlah dari poin yang didapatkan oleh semua tim tersebut antara 100 sampai dengan 210 adalah 34 kemungkinan yakni 110 , 113 , 116 , ... , 206 , 209
PEMBAHASAN
Permutasi ( Penyusunan )
Permutasi adalah proses penyusunan dari sekian banyak unsur. Dalam permutasi , urutan unsur tentunya di perhatikan. Banyaknya cara penyusunan atau permutasi dapat memakai rumus berikut ini:
ⁿPₐ = n! / ( n-a )!
dengan :
n = banyaknya total unsur
a = banyaknya unsur yang di susun
Kombinasi ( Pemilihan )
Kombinasi adalah proses pemilihan dari sekian banyak unsur. Dalam kombinasi , urutan unsur tidak perhatikan. Banyaknya cara pemilihan atau kombinasi dapat memakai rumus berikut ini:
ⁿCₐ = n! / [ ( n-a )! a! ]
dengan :
n = banyaknya total unsur
a = banyaknya unsur yang di pilih
Nah setelah kita paham prinsip dasar perhitungan ini , maka kita bisa mulai memecahkan persoalan di atas.
Pertama sekali kita bisa bisa mencari jumlah pertandingan yang akan terjadi jika sebelas tim sepak bola bertanding satu sama lain dengan menggunakan prinsip kombinasi berikut ini :
¹¹C₂ = 11 ! / ( 2! (11 - 2)! ) = 11 ! / ( 2! . 9! ) = 55 pertandingan
Setiap pertandingan akan menghasilkan dua kemungkinan , yakni ada yang menang dan kalah , atau pertandingan seri. Jika pertandingan ada yang menang dan kalah , maka pertandingan itu akan menghasilkan 5 poin . Tetapi jikalau pertandingan - nya seri , maka pertandingan itu akan menghasilkan poin ( 1 + 1 ) = 2 poin.
Total poin maksimum yang di capai adalah jikalau semua pertandingan ada yang menang dan kalah , yakni :
Jumlah Poin Maksimum = 55 x 5 = 275 poin
Total poin minimum akan dicapai adalah jikalau semua pertandingan -nya seri , yakni :
Jumlah Poin Minimum = 55 x 2 = 110 poin
∴ 110 ≤ Total Poin ≤ 275
Sekarang persoalannya adalah mencari kemungkinan Total Poin antara 100 sampai dengan 210 atau tepatnya adalah antara 110 sampai dengan 210. Ini berarti ada pertandingan yang menang-kalah dan ada pertandingan yang seri.
Misalkan :
Jumlah pertandingan yang menang - kalah = x
Jumlah pertandingan yang seri = y
Berhubung jumlah pertandingan ada sebanyak 55 pertandingan , maka :
x + y = 55
x = 55 - y → Persamaan 1
Berikutnya untuk mencari total poin dari seluruh pertandingan adalah :
Total Poin = 5x + 2y
Total Poin = 5(55 - y ) + 2y ← Persamaan 1
Total Poin = 275 - 5y + 2y
Total Poin = 275 - 3y
Berhubung total poin yang ingin di cari adalah antara 110 s/d 210 , maka :
110 ≤ Total Poin ≤ 210
110 ≤ 275 - 3y ≤ 210
110 - 275 ≤ -3y ≤ 210 - 275
-165 ≤ -3y ≤ -65
55 ≥ y ≥ 21,7
Dari hasil di atas di dapat bahwa nilai y ( bilangan asli ) yang memenuhi adalah antara 22 sampai dengan 55
Contoh :
Jika y = 22 , maka x = 33 , berarti dari 55 pertandingan terdapat 22 pertandingan seri dan 33 pertandingan menang-kalah , dan akan menghasilkan total poin = 5(33) + 2(22) = 209
Jika y = 23 , maka x = 32 , berarti dari 55 pertandingan terdapat 23 pertandingan seri dan 32 pertandingan menang-kalah , dan akan menghasilkan total poin = 5(32) + 2(23) = 206
Dan seterusnya sampai :
Jika y = 55 , maka x = 0 , berarti dari 55 pertandingan terdapat 55 pertandingan seri dan 0 pertandingan menang-kalah , dan akan menghasilkan total poin = 5(0) + 2(55) = 110
Kesimpulan :
Banyak total poin yang mungkin adalah sebanyak kemungkinan nilai y bilangan asli dari 22 sampai dengan 55 yakni :
( 55 - 22 ) + 1 = 33 + 1 = 34 kemungkinan
Pelajari lebih lanjut :
---------------------------
Detil Jawaban :