Se desea sujetar un poste de 20 metros de altura con un cable que parte de la parte superior del mismo hasta el suelo de modo que forme un ángulo de 30 grados (calcular el precio del cable si cada metro cuesta 12$
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El precio del cable es de $ 480
Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.
¿Qué son los triángulos notables?
Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.
Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.
Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.
En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.
Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad
Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.
Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.
Esto se puede observar en al gráfico adjunto
Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC que equivale a la altura del poste, el lado AC que es el plano horizontal y el lado AB que representa la longitud del cable de la parte superior del poste hasta el suelo con un ángulo de elevación de 30°
Por tratarse de un triángulo notable en donde el ángulo notable de 30° resulta ser el lado opuesto o cateto opuesto a dicho ángulo. Podemos afirmar que la hipotenusa medirá exactamente el doble .
Por tanto si el poste tiene 20 metros de altura la longitud del cable será de 40 metros
Los cálculos nos darán la razón
Solución
Hallamos la longitud del cable
Método 1
Razones trigonométricas con ángulos notables
Conocemos
Si el seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa
Como conocemos el valor del cateto opuesto y de un ángulo de elevación de 30° y se desea hallar la hipotenusa relacionamos los datos con el seno del ángulo α
Planteamos
[tex]\boxed{\bold { sen(30)^o= \frac{ cateto\ opuesto }{ hipotenusa } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { sen(30)^o= \frac{ altura\ poste }{ longitud \ cable } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {longitud \ cable = \frac{ altura\ poste }{ sen(30)^o } } }[/tex]
El valor exacto del seno de 30°
[tex]\boxed{\bold { sen(30)^o = \frac{1}{2} }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold { longitud \ cable= \frac{ 20 \ metros }{ sen(30)^o } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {longitud \ cable = \frac{ 20 \ metros }{ \frac{1}{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { longitud \ cable= 20 \ metros \ . \ \frac{2}{1} }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {longitud \ cable = 20 \ metros \ . \ \ 2 }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {longitud \ cable = 40 \ metros }}[/tex]
La longitud del cable es de 40 metros
Método 2
Hallando el valor de la constante k
La altura del poste es de 20 metros
Y al ser el lado opuesto al ángulo notable de 30° medirá 1k
Planteamos
[tex]\boxed{\bold {altura \ poste = 20 \ metros = 1k }}[/tex]
Despejamos a la constante k
[tex]\boxed{\bold { 1k = 20 \ metros }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold { k = \frac{ 20 \ metros }{1} }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold { k = 20 }}[/tex]
El valor de la constante k es 20
La hipotenusa siempre mide 2k
Planteamos
[tex]\boxed{\bold { longitud \ cable= 2 k }}[/tex]
Reemplazamos el valor de la constante k
[tex]\boxed{\bold { longitud \ cable= 2 \ . \ 20 }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { longitud \ cable=40 \ metros }}[/tex]
Calculamos el precio del cable
Resolvemos aplicando una regla de tres simple directamente proporcional
Planteamos
[tex]\large\textsf{1 metro ----------------------- \$ 12 }[/tex]
[tex]\large\textsf{40 metros ----------------------- x }[/tex]
[tex]\textsf{Y resolvemos en cruz }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{x = \frac{40 \not m\ . \ \$ \ 12}{1 \not m} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{x = \$ \ 480}}[/tex]
El precio del cable es de $ 480