Question

Satelita stacjonarny który dla obserwatora związanego z Ziemią wydaje się nieruchomy krąży po orbicie kołowej w płaszczyźnie równika. Jeżeli czas trwania doby ziemskiej wynosi T, masa Ziemi M, stała grawitacji G, a promień Ziemi R, to ile wynosi promień orbity tego satelity?

Wyprowadź równanie.

Answer 1

Ponieważ satelita wydaje się nieruchomy względem Ziemi dlatego prędkość

kątowa satelity jest równa prędkości katowej Ziemi

ωs = ωz

Na satelitę działa siła przyciagania Ziemi, zatem mamy

F = G mM/ L² , gdzie m - masa satelity, M - masa Ziemi,L - odległość

satelity od środka Ziemi.

Ponieważ G m M/R² = mg , zatem  GM = g R²

R - promień Ziemi

g - przyspieszenie ziemskie

T -  czas trwania doby ziemskiej

Po podstawieniu za GM  otrzymamy

F = m g R²/ L² = m g *( R/ L)²

Satelita porusza się po orbicie kołowej zatem F jest siłą dośrodkową

czyli mamy

F = m ω² L = m ( 2 π/ T)²L czyli

m g ( R/ L)²  = m (2π/ T)² *L   / : m

( g R²)/ L² =[ ( 4 π²)/ T²]* L

g R²T² = 4 π² L³ ----> L³ = ( g T² R²)/( 4 π²)

L = ∛((g T² R²)/(4 π² ))

Odp. Promień orbity satelity stacjonarnego Ziemi jest równy

∛((g T² R²)/(4 π²)).

======================