. Desde la azotea de un edificio de altura «h», se lanza horizontalmente una pelota con una rapidez de
30 m/s. Si impacta contra el piso a 120 m de la base
del edificio, calcula «h»
(g = 10 m/s2).
30 m/s. Si impacta contra el piso a 120 m de la base
del edificio, calcula «h»
(g = 10 m/s2).
La altura H del edificio desde donde se lanzó la pelota es de 80 metros
Se trata de un problema de tiro horizontal
El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.
Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad
Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical
Al inicio del movimiento el proyectil sólo posee una velocidad horizontal: [tex]\bold { V_{x} }[/tex] , debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que: [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex] , luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende
Determinamos el tiempo de vuelo del proyectil
Dado que en el eje X se tiene un MRU durante toda la trayectoria y sabemos a que distancia desde la base del edificio impactó la pelota, por tanto conocemos el alcance máximo o la distancia horizontal recorrida por el proyectil: [tex]\bold{ x_{MAX} = 120 \ m }[/tex]. Donde la velocidad inicial horizontal es de: [tex]\bold{ V_{0x} = 30 \ \frac{m} {s} }[/tex] -dados por enunciado-
[tex]\large\textsf{ Luego despejamos el tiempo}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { X_{MAX}= d }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}[/tex]
[tex]\bold{V_{0x} = V_{x} }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t = \frac{d}{V_{x} } }}[/tex]
[tex]\textsf{ Reemplazamos valores y resolvemos}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \frac{120 \not m }{30 \ \frac{\not m}{s} } }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t = 4 \ segundos}}[/tex]
El tiempo de vuelo de la pelota es de 4 segundos
Calculamos la altura del edificio desde donde se efectuó el lanzamiento
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:
[tex]\bold{ V_{0y} = 0 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =H -\frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\bold{y= 0}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 0 =H -\frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Donde despejamos la altura }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { H = \frac{ g \ . \ t^{2} }{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad de } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
[tex]\large\textsf{Y el tiempo de vuelo hallado en el inciso anterior: }\bold{4 \ s}[/tex]
[tex]\textsf{ Reemplazamos valores y resolvemos}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H = \frac{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } \ . \ (4 \ s)^{2} }{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H = \frac{ 10 \ \frac{m}{\not s^{2} } \ . \ 16 \not s^{2} }{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H = \frac{ 10 \ . \ 16 }{2} \ m}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H = \frac{ 160}{2} \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { H = 80 \ metros }}[/tex]
La altura del edificio desde donde se lanzó la pelota es de 80 metros
Aunque el enunciado no lo pida
Velocidad con la cual el proyectil llega al suelo
Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 4 segundos
Para el eje x - Eje horizontal
Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial horizontal
[tex]\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { {V_x} =30 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
Para el eje y - Eje vertical
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo
En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 4 \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { V_{y} =-40\ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad para el instante de tiempo en que el proyectil llega al suelo se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }[/tex]
[tex]\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(30 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-40 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{900\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +1600\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{2500\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 50 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad con la cual llega el proyectil al suelo es de 50 metros por segundo (m/s)
Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento
Como se puede apreciar se describe una semiparábola