una pelota es lanzada horizontalmente desde una ventana con una velocidad inicial cuya magnitud es de 35 m/s y cae al suelo depues de 12 segundos
A) A qué altura se encuentra desde la ventana
B) A qué distancia cae la pelota de la base del edificio
A) A qué altura se encuentra desde la ventana
B) A qué distancia cae la pelota de la base del edificio
A) La altura H de la ventana desde donde se lanzó la pelota es de 720 metros
B) El alcance horizontal de la pelota es de 420 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida por esta al caer al suelo
Se trata de un problema de tiro horizontal
El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.
Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad
Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical
Al inicio del movimiento el proyectil sólo posee una velocidad horizontal: [tex]\bold { V_{x} }[/tex] , debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que: [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex] , luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende
A) Calculamos la altura H de la ventana desde donde se lanzó la pelota
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:
[tex]\bold{ V_{0y} = 0 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =H -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} }}[/tex]
[tex]\bold{y= 0}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 0 =H -\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Donde despejamos la altura }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { H = \frac{ g \cdot t^{2} }{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad de } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
[tex]\large\textsf{Y el tiempo de vuelo dado por enunciado: }\bold{12 \ s}[/tex]
[tex]\textsf{ Reemplazamos valores y resolvemos}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H = \frac{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } \cdot (12 \ s)^{2} }{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H = \frac{ 10 \ \frac{m}{\not s^{2} } \cdot 144 \not s^{2} }{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H = \frac{ 10 \cdot 144 }{2} \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H = \frac{ 1440}{2} \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { H = 720 \ metros }}[/tex]
La altura H de la ventana desde donde se lanzó la pelota es de 720 metros
B) Determinamos el alcance horizontal de la pelota desde su lanzamiento
Dado que en el eje X se tiene un MRU durante toda la trayectoria: para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil al llegar al suelo, -desde la base del edificio donde fue lanzada horizontalmente desde una ventana- basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo. Donde la velocidad inicial horizontal es de: [tex]\bold { V_{0x} = 35 \ \frac{m}{s} }[/tex] y el tiempo de vuelo es de: [tex]\bold { t_{v} = 12 \ s }[/tex] -dados por enunciado-
[tex]\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \cdot t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =V_{x} \cdot t }}[/tex]
[tex]\textsf{ Reemplazamos valores y resolvemos}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =35 \ \frac{m}{\not s} \cdot 12 \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { d =420 \ metros}}[/tex]
El alcance horizontal de la pelota es de 420 metros
Aunque el enunciado no lo pida
Hallamos la velocidad con la cual la pelota llega al suelo
Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 7 segundos
Para el eje x - Eje horizontal
Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial horizontal
[tex]\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { {V_x} =35 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
Para el eje y - Eje vertical
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo
En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =g\cdot t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \cdot 12 \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { V_{y} =-120\ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad para el instante de tiempo en que la pelota llega al suelo se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }[/tex]
[tex]\textsf{ Reemplazamos valores y resolvemos}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(35 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-120 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{1225\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +14400\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{15625\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 125 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad con la cual la pelota llega al suelo es de 125 metros por segundo (m/s)
Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento
Como se puede apreciar se describe una semiparábola