Rzut z wysokości 10m z prędkością 9,81 m/s skierowana pionowo do góry opisany jest wyrażeniem: x(t)=10+20t-4,905 t2 (kwadrat)
Jak długo trwa wznoszenie?
Proszę napisać całe rozwiązanie zadania.
Jak długo trwa wznoszenie?
Proszę napisać całe rozwiązanie zadania.
Równanie to opisuje zależność (funkcję) drogi x w czasie t.
Najłatwiej zadanie rozwiązać przy pomocy pochodnej funkcji, ale niekoniecznie.
1. sposób:
Pochodna funkcji dx/dt = x'(t) = -2*4,905t + 20 = -9,81t + 20
Gdy pochodna x'(t) przyjmuje wartość 0, to funkcja x(t) osiągnie maksimum (warunek konieczny istnienia max/min). Na marginesie x'(t) = v(t), czyli pochodna jest funkcją prędkości w czasie; gdy prędkośc osiągnie wartość zero, ciało wzniesie się na maksymalną wysokość i o to właśnie chodzi.
x'(t) = 0
-9,81t + 20 = 0
t = 20/9,81 ≈ 2 [s]
Jak widać czas wznoszenia nie zależy od początkowej wysokości 10m, co jest logiczne.
2.sposób
Funkcję kwadratową przedstawiamy w tzw. postaci kanonicznej:
10+20t-4,905 t² = -4,905(t-p)² + q, gdzie (p, q) - współrzędne wierzchołka paraboli. Są na to specjalne wzory, ale łatwo zrobić to bez nich.
Pytanie: jakie musi być p, aby po wymnożeniu -4,905(t-p)² otrzymać wyraz 20t?
Wiedząc, że (a+b)²=a²+2ab+b², zamienimy:
10+20t-4,905 t² = -4,905[t-20:(2*4,905)]² + 10 + 4,905*[20:(2*4,905)]²=
-4,905(t-10/4,905)² + q
Jak widać x(t)= -4,905(t-10/4,905)² + q jest największe, jeśli t-10/4,905 = 0, czyli dla t=10/4,905, ponieważ -4,905(t-10/4,905)² jest wartością co najwyżej równą zeru (w pozostałych przypadkach jest ujemna).
Jeśli wyliczymy do końca q, to otrzymamy wysokość wzniesienia, ale o to nie pytali w zadaniu.