Question

Narciarz o masie 42 kg zjechała "na krechę" z górki o wysokości 20 m i kacie nachylenia 15 stopni po czym uderzył w śnieżną zaspę znajdującą się w
odległości 75 metrów od podnóża górki. Współczynnik tarcia nart o śnieg wynosi 0,12.Oblicz z jaką szybkością narciarz uderzył w zaspę. W obliczeniach pomiń opór powietrza. Powinno wyjść v=6,4 m/s. Proszę o wytłumaczenie krok po kroku i wykorzystanie energii mechanicznej.

Answer 1

Energia mechaniczna to suma energii potencjalnej i kinetycznej. W obliczeniach należy też uwzględnić pracę siły tarcia.
Ep=WT+Ek1
Ek1+Ep2=Ek2
Energia potencjalna jest liczona od dołu do góry skoczni:
Ep=mgh1
h1 to wysokość góry skoczni od dołu skoczni a h2 to wysokość dołu skoczni od zaspy
Praca siła tarcia:
WT=-T∙s
s to długość skoczni, można ja policzyć z funkcji trygonometrycznych
h1/s=sinα => s=h1/sinα
Siła tarcia:
T=N∙µ
Siła nacisku N to:
N=Q∙cosα
A ciężar Q :
Q=m∙g
Łącznie praca siły tarcia to:
WT=-m∙g∙µ∙cosα ∙ h1/sinα = -m∙g∙µ∙h1∙ctgα
Jeszcze została nam energia kinetyczna:
Ek1=mv1²/2
v1- to prędkość wylotu narciarza ze skoczni
m∙g∙h1-m∙g∙µ∙h1∙ctgα = mv1²/2
v1=√[2∙g∙h1(1-µ∙ctgα)]
Składowa pozioma prędkości od chwili wylotu nie zmienia się wiec można ją wykorzystać do obliczenia czasu lotu:
t=s2/(cosα∙v1)
Teraz można policzyć wysokość h2 dołu skoczni od zaspy:
h2=sinα∙v1∙t + gt²/2 = s2∙tgα + g∙s2²/(2∙cos²α∙v1²)
Teraz możemy sobie rozpisać składowe drugiego równania energii:
Ek1=mv1²/2
Ep2=mgh2=mg(s2∙tgα + g∙s2²/(2∙cos²α∙v1²))
Ek2=mv²/2
mv1²/2+mgh2=mv²/2
v=√(v1²+2gh2)=√(v1²+2g∙s2∙tgα + g²∙s2²/(cos²α∙v1²))
Obliczmy sobie osobno v1 a potem v2 dla uproszczenia wzoru:
v1=√[2∙g∙(h1-µ∙h1∙ctgα)]

g = 10m/s²
h1 = 20m
µ = 0.12
α = 15°
s2 = 75m
v1=√[2∙10∙(20+0.12∙20∙ctg15°)]=14.86 m/s

v=√(14.86²+2∙10∙74∙tg15° + 10²∙75²/(cos²15°∙14.86²))=57.85 m/s

Wynik niestety wychodzi dość dziwny ale sam upadek swobodny z wysokości 20m odbywa się z prędkością 20m/s, siła tarcia zmniejsza ją do 14.86 m/s ale to tego dochodzi jeszcze spadek z wysokości h2, która też nie jest mała. Gdyby v=6,4 m/s to już v1 musiała by wyjść mniejsza od jej prędkości.