Desde una terraza que se encuentra a una altura de 20 metros, se lanza horizontalmente una pelota con una velocidad de 40 m/s, produciendo un movimiento semiparabólico. Calcula el tiempo de vuelo de la pelota, el alcance horizontal, la velocidad con la cual la pelota llega al suelo.
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a) El tiempo de vuelo de la pelota es de 2.02 segundos
b) El alcance horizontal [tex]\bold { x_{MAX} }[/tex] es de 80.8 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida por la pelota
c) La velocidad con la cual la pelota llega al suelo es de 44.63 metros por segundo (m/s)
Se trata de un problema de tiro horizontal
El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.
Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad
Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical
Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal [tex]\bold { V_{x} }[/tex] debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex] , luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende
a) Calculamos el tiempo de vuelo de la pelota
[tex]\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
Consideramos la altura H desde donde se lanzó el proyectil [tex]\bold {H= 20 \ m }[/tex]
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:
[tex]\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\bold{y= 0}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 20 \ m }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 40 \not m }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{4.081632653 \ s^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = 2.0203 \ segundoa } }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t = 2.02 \ segundos } }[/tex]
El tiempo de vuelo de la pelota es de 2.02 segundos
b) Determinamos el alcance máximo de la pelota es decir la trayectoria horizontal recorrida
Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo
[tex]\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =40 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 2.02\ \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { d =80.8 \ metros}}[/tex]
El alcance horizontal [tex]\bold { x_{MAX} }[/tex] es de 80.8 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida por la pelota
c) Hallamos la velocidad con la cual la pelota llega al suelo
1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 2.02 segundos
Para el eje x - Eje horizontal
Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial horizontal
[tex]\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { {V_x} =40 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
Para el eje y - Eje vertical
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo
En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =-9.8 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 2.02 \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { V_{y} =-19.80\ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad para el instante de tiempo en que el cuerpo llega al suelo se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(40 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-19.8 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{1600\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +392.04 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{1992.04\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 44.6322 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 44.63 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad con la cual la pelota llega al suelo es de 44.63 metros por segundo (m/s)
Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento