Un pequeño asteroide (cuya masa es de 10 g) golpea de refilón a un satélite en elespacio vacío. El satélite estaba inicialmente en reposo y el asteroide viajaba a 2000 m/s. La masa del satélite es de 100 kg. El asteroide se desvía 10° de sudirección original y su rapidez disminuye a 1000 m/s, pero ninguno de los objetos pierde masa. Determine a) la dirección y b) la rapidez del satélitedespués de la colisión.
RTA.
a) 9.7°
b) 0.10 m/s
POR FAVOR AYUDA
RTA.
a) 9.7°
b) 0.10 m/s
POR FAVOR AYUDA
Después de la colisión, el satélite es lanzado a 0,1 metros por segundo en una dirección de 9,71° respecto de la dirección inicial del asteroide.
Explicación:
Como en este evento no intervienen fuerzas externas, el momento lineal antes y después de la colisión se conserva. Por lo que siendo v1 la velocidad inicial del asteroide y u1 y u2 las velocidades finales del asteroide y del satélite respectivamente queda:
[tex]m_1.v_1=m_1.u_1.cos(10\°)+m_2u_2.cos(\alpha)\\\\0=m_1.u_1.sen(10\°)+m_2.u_2.sen(\alpha)[/tex]
a) En la segunda ecuación despejamos la velocidad final del satélite y la reemplazamos en la primera:
[tex]u_2=\frac{-m_1.u_1.sen(10\°)}{m_2.sen(\alpha)}\\\\m_1.v_1=m_1.u_1.cos(10\°)-m_2\frac{m_1.u_1.sen(10\°)}{m_2.sen(\alpha)}.cos(\alpha)\\\\m_1.v_1=m_1.u_1.cos(10\°)-\frac{m_1.u_1.sen(10\°)}{sen(\alpha)}.cos(\alpha)\\\\v_1=u_1.cos(10\°)-\frac{u_1.sen(10\°)}{tan(\alpha)}\\\\v_1=(cos(10\°)-\frac{sen(10\°)}{tan(\alpha)})u_1[/tex]
Despejamos el ángulo [tex]\alpha[/tex] que es la dirección del satélite:
[tex]v_1=(cos(10\°)-\frac{sen(10\°)}{tan(\alpha)})u_1\\\\\frac{v_1}{u_1}=cos(10\°)-\frac{sen(10\°)}{tan(\alpha)}\\\\\frac{sen(10\°)}{tan(\alpha)}=cos(10\°)-\frac{v_1}{u_1}\\\\tan(\alpha)=\frac{sen(10\°)}{cos(10\°)-\frac{v_1}{u_1}}\\\\\alpha=tan^{-1}(\frac{sen(10\°)}{cos(10\°)-\frac{v_1}{u_1}})=tan^{-1}(\frac{sen(10\°)}{cos(10\°)-\frac{2000\frac{m}{s}}{1000\frac{m}{s}}})\\\\\alpha=9,71\°[/tex]
b) En la segunda ecuación de la conservación del momento lineal podemos despejar la velocidad final del satélite:
[tex]0=m_1.u_1.sen(10\°)+m_2.u_2.sen(\alpha)\\\\u_2=\frac{-m_1.u_1.sen(10\°)}{m_2.sen(\alpha)}=\frac{-0,01kg.1000\frac{m}{s}.sen(10\°)}{100kg.sen(9,71\°)}\\\\u_2=0,1\frac{m}{s}[/tex]