Jeśli z poziomu gruntu wystrzelę pocisk armatni, gdy armata jest skierowana pod kątem 76 stopni od gruntu, to jak daleko poleci z prędkością początkową 213 m/s?
Pomiń opór powietrza i oblicz dystans, który przeleciał pocisk.
Pomiń opór powietrza i oblicz dystans, który przeleciał pocisk.
Pocisk przeleci dystans ok. 2127,8 m.
[tex]Dane:\\\alpha = 76^{o}\\2\alpha = 2\cdot76^{o} = 152^{o}\\v_{o} = 213\frac{m}{s}\\g = 10\frac{m}{s^{2}}\\Szukane:\\X_{max} = ?[/tex]
Rozwiązanie
Rzut ukośny
Pociskowi nadano prędkość poczatkową [tex]v_{o}[/tex] pod kątem [tex]\alpha[/tex] do poziomu.
Jeżeli rozłożymy prędkość na składowe w kierunkach poziomym i pionowym, to możemy przyjąć, że pocisk porusza się równocześnie dwoma ruchami w dwóch kierunkach. Wzdłuż osi x pocisk ma prędkość [tex]v_{ox}[/tex] i z tą prędkością oddala się z miejsca wystrzelenia ruchem jednostajnym (w kierunku poziomym nie działa żadna siła). Równocześnie porusza się pionowo, bo ma pionową prędkość początową [tex]v_{oy}[/tex]. Ruch pionowy jest po prostu rzutem pionowym do góry, tyle że z prędkością początową [tex]v_{oy}[/tex]. Złożenie obu ruchów pozwoli obliczyć wielkości opisujące rzut ukośny.
Zasięg rzutu [tex]X_{max}[/tex] jest drogą przebyta w czasie, w którym ciało wzniosło się w pionie na maksymalną wysokość H i spadło z powrotem na ten sam poziom. Czas wzoszenia jest równy czasowi spadania ([tex]t_{s} = t_{w}[/tex]). Tak więc czas rzutu ukośnego wynosi [tex]2t_{s}[/tex]. Czas spadania swobodnego jest równy
[tex]t_{s} = \frac{v_{oy}}{g} = \frac{v_{o} sin\alpha}{g}[/tex]
wobec tego zasięg rzutu [tex]X_{max}[/tex] wynosi
[tex]X_{max} = v_{ox} \cdot 2t_{s} = v_{o}cos \ \alpha\cdot\frac{2v_{o}sin \ \alpha}{g}\\\\X_{max} = \frac{2v_{o}^{2}sin \ \alpha cos \ \alpha}{g}\\\\ale\\\\2sin \ \alpha \ cos \ \alpha = sin2\alpha, \ zatem\\\\X_{max} = \frac{v_{o}^{2}sin \ \alpha}{g}[/tex]
Podstawiamy wartości:
[tex]X_{max} = \frac{(213\frac{m}{s})^{2}\cdot sin152^{o}}{10\frac{m}{s^{2}}}\\\\sin152^{o} = sin(180^{o}-28^{o}) = sin28^{o} = 0,469\\\\X_{max} = \frac{45369\frac{m^{2}}{s^{2}}\cdot0,469}{10\frac{m}{s^{2}}}\\\\\boxed{X_{max} \approx2127,8 \ m}[/tex]