Sygnał wyjściowy z czujnika analogowego jest próbkowany co 195 µs w celu przekształcenia go w reprez.... Question from @aishaalam

June 2022 1 4 Report

Sygnał wyjściowy z czujnika analogowego jest próbkowany co 195 µs w celu przekształcenia go w reprezentację cyfrową. Jaka jest odpowiednia częstotliwość próbkowania wyrażona w kHz?
Zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu, dla tej wartości częstotliwości próbkowania, jaka może być w przybliżeniu najwyższa częstotliwość występująca w sygnale, w kHz, zakładając, że najniższa częstotliwość jest bardzo bliska zeru?
Jeśli każda próbka jest teraz skwantowana do 512 poziomów, jaka będzie wynikowa szybkość transmisji w kb/s?
Podaj odpowiedź w notacji naukowej z dokładnością do 2 miejsc po przecinku.

KonFish

1. Jaka jest odpowiednia częstotliwość próbkowania wyrażona w kHz?

Częstotliwość próbkowania (f_p) to ilość próbek przypadająca na sekundę odtwarzanego sygnału wyrażona w hercach.

Jeżeli kolejne próbki pojawiają się co 195 µs, to możemy przyjąć tę wartość za okres (T) i skorzystać ze wzoru na częstotliwość, znanego już ze szkoły średniej:

$f_p=\dfrac{1}{T}$

$T=195\,\mathrm{\mu s}=\dfrac{195}{1000000}\,\mathrm{s}\\\\\\f_p=\dfrac{1}{\dfrac{195}{1000000}\,\mathrm{s}}=\dfrac{1000000}{195}\,\dfrac{1}{\mathrm{s}}=\dfrac{1000000}{195}\,\mathrm{Hz}=\dfrac{1000000}{195}\cdot\dfrac{1}{1000}\,\mathrm{kHz}\\\\\\\boxed{f_p=\dfrac{1000}{195}\,\mathrm{kHz}\approx5,13\,\mathrm{kHz}}$

2. Jaka może być w przybliżeniu najwyższa częstotliwość występująca w sygnale, w kHz, zakładając, że najniższa częstotliwość jest bardzo bliska zeru?

Twierdzenie o próbkowaniu mówi, że sygnał wejściowy będzie wiernie odtworzony, jeżeli częstotliwość jego składowych widma o największej wartości będzie ponad 2 razy mniejsza niż częstotliwość próbkowania sygnału wyjściowego.

Oznacza to tyle, że najwyższa częstotliwość tego musi być 2 razy mniejsza niż obliczona wcześniej częstotliwość próbkowania.

$f_{max}=\dfrac{1000}{195}\,\mathrm{kHz}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{500}{195}\,\mathrm{kHz}\approx2,56\,\mathrm{kHz}$

3. Jeśli każda próbka jest teraz skwantowana do 512 poziomów, jaka będzie wynikowa szybkość transmisji w kb/s?

Mamy tutaj do czynienia z cyfrowym zapisem danych. Znając ilość poziomów skwantowania możemy obliczyć głębię bitową tego sygnału.

Komputery korzystają z systemu binarnego, czyli systemu opartego na dwóch wartościach, 0 i 1. Głębia bitowa będzie minimalną ilością bitów (a w każdym bicie może być jedna z dwóch wartości), za pomocą których będziemy mogli zapisać 512 różnych poziomów skwantowania. Można zauważyć, że ilość liczb, które możemy zapisać za pomocą n bitów wynosi 2ⁿ. Zatem:

$2^n=512\\2^n=2^8\\n=8$

Oznacza to, że mamy 8-bitową głębię bitową. By otrzymać szybkość transmisji w kb/s, wystarczy pomnożyć głębię bitową próbki przez częstotliwość próbkowania.

$K=8\,\text{b}\cdot\dfrac{1000}{195}\,\text{kHz}=\dfrac{8000}{195}\,\mathrm{\dfrac{kb}{s}}\approx41,03\,\mathrm{\dfrac{kb}{s}}$

4. Podaj odpowiedź w notacji naukowej z dokładnością do 2 miejsc po przecinku.

Zaokrąglone wyniki do dwóch miejsc po przecinku:

$f_p=5,13\,\text{kHz}\\f_{max}=2,56\,\text{kHz}\\K=41,03\,\dfrac{kb}{s}$

Wyniki zapisane w notacji naukowej z dokładnością do 2 miejsc po przecinku:

$f_p=5,13\text{E}0\,\text{kHz}\\f_{max}=2,56E0\,\text{kHz}\\K=4,10E1\,\dfrac{kb}{s}$

KonFish Popełniłem błąd. 512 to 2⁹, a nie 2⁸. W związku z tym, szybkość transmisji wyniesie K = (9000/195) kb/s ≈ 46,15 kb/s. W notacji naukowej z dokładnością do 2 miejsc po przecinku, ta wartość wynosi 4,62E1 kb/s.