Question

Un móvil recorre una trayectoria de ecuación y^2 = 4x + 4 en
la zona en que y ≥ 0. Sabiendo que la componente de la
velocidad del movil a lo largo del eje y es constante en todo el
movimiento e igual a 3 m/s, determine:
1) La velocidad cuando su posición es r→ = 2j→
2) La posición y la velocidad en el instante en que la
velocidad forma un angulo de 30° con la horizontal.

Answer 1

Un móvil recorre una trayectoria de ecuación y^2 = 4x + 4 en la zona en que y ≥ 0. Sabiendo que la componente de la velocidad del movil a lo largo del eje y es constante en todo el movimiento e igual a 3 m/s, determine: 1) La velocidad cuando su posición es r→ = 2j→ 2) La posición y la velocidad en el instante en que la velocidad forma un angulo de 30° con la horizontal.

Hola!!!

Lo primero que debemos hacer es graficar el recorrido del movil. en este caso el recorrido esta dado por la parabola: y² = 4x + 4

Para poder Hallar la velocidad en el punto que nos indican, necesitamos la hallar antes la componente Horizontal de la Velocidad, para ello recurrimos a conocimientos matematicos basicos, como es calcular la pendiente de una recta.

Sabemos que la pendiente de una recta se puede determinar con la derivada de la funcion en ese punto (la derivada de y² = 4x + 4 en el punto que queremos saber la Velocidad).

El punto lo ubicamos teniendo en cuenta el dato que nos proporcionan de vector unitario:

(i ; j) = (0 : 1)×(0 :2) ⇒

El punto tiene coordenadas (0 : 2)

Tenemos que y² = 4x + 4 ⇒ despejamos "x" para poder tener la funcion en condiciones para Derivarla ⇒

x = 1/4y² - 1

Derivamos: Derivada generica: duᵇ = b × uᵇ⁻¹ × du ⇒

dx = 1/2y

Coordenadas del punto (0 ; 2) ⇒ Pendiente = m = Tang.α ⇒

dx = 1/2×2 = 1 = Tang.α ⇒ Tang⁻¹ 1 = α = 45º

Ya estamos en condiciones de hallar la componente Horizontal de la Velocidad en ese punto (ver esquemas graficos del archivo adjunto):

Tang45º = Vy/Vₓ sabemos que la componente Vertical de la Velocidad es constante en el eje del "y" segun dato de problema Vy = 3 m/s ⇒

Vₓ = 3/Tang45º ⇒

Vₓ = 3/1

Vₓ = 3 ⇒ Aplicando Teorema de Pitagoras hallamos V:

V = √3²+3² ⇒

V = √18

V = 4,24 m/s Respuesta 1)

Si el angulo α = 30º ⇒ Velocidad en ese punto estarà dada por:

Sen30º = 3/V ⇒

V = 3/Sen30º ⇒

V = 3/1/2 ⇒

V = 6 m/s Respuesta 2)

La componente Horizontal de la velocidad nos dará la posición del móvil en ese momento:

Vₓ = 3/Tang30º ⇒ Vₓ = 5,2 m/s ⇒ x =5,2

Para hallar la coordenada "y" debemos sustituir este valor en la funcion Original:

y² = 4x + 4 ⇒

y = 4,98 ⇒

r₁ ⇒ (5,2 ; 4,98) = (5,2/6i ;4,98/6j) ⇒

r₁ ⇒ (0,87i ; 0,83j) Respuesta 2)

Te dejo 1 archivo adjunto con esquemas y calculos correspondientes.

Espero haber ayudado!!!

Saludos!!!