6. Un cañón dispara una bala de forma horizontal a 300 m/s desde una altura de 30 metros. Determina: a) el tiempo que la bala estuvo en el aire, b) la veloci- dad resultante final y c) el alcance horizontal de la bala.
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a) El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la bala es de 2.45 segundos
b) La velocidad resultante final de la bala es de 301 metros por segundo (m/s), luego impacta el suelo con dicha velocidad
c) El alcance horizontal [tex]\bold { x_{MAX} }[/tex] es de 735 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida por la bala de cañón
Se trata de un problema de tiro horizontal
El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.
Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad
Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical
Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal [tex]\bold { V_{x} }[/tex] debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex], luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende
SOLUCIÓN
a) Calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la bala
[tex]\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
Consideramos la altura H desde donde se disparó el proyectil [tex]\bold {H= 30 \ m }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\bold{y= 0}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 30 \ m }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 60 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{6 \ s^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = 2.44948 \ segundoa } }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t = 2.45 \ segundos } }[/tex]
El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la bala es de 2.45 segundos
b) Hallamos la velocidad resultante final
1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 2.45 segundos
Para el eje x - Eje horizontal
Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial
[tex]\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { {V_x} =300 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
Para el eje y - Eje vertical
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo
En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 2.45 \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { V_{y} =-24.5\ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad final (para el instante de tiempo en que el cuerpo llega al suelo) se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(300 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-24.5 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{90000\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +600.25 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{90600.25\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 300.99875 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 301 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad resultante final de la bala es de 301 metros por segundo (m/s), luego impacta el suelo con dicha velocidad
c) Determinamos el alcance máximo de la bala es decir la distancia horizontal recorrida
Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo
[tex]\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =300 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 2.45\ \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { d = 735 \ metros}}[/tex]
El alcance horizontal [tex]\bold { x_{MAX} }[/tex] es de 735 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida por la bala de cañón
Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento