Question

Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 100 m/s, con un ángulo de 35°. Calcular: 1) Tiempo de vuelo. 2) Altura máxima. 3) Alcance Máximo.

Answer 1

a) El tiempo de vuelo del proyectil es de 11.71 segundos

b) La altura máxima alcanzada por el proyectil es de 167.85 metros

c) El alcance máximo del proyectil es de 958.87 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

1) Hallamos el tiempo de vuelo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

[tex]\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}[/tex]

Donde

[tex]\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }[/tex]

[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]

[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]

[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]

[tex]\large\textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]

[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]

[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (100 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (35^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{200\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.573576436351 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{200\ \ . \ 0.573576436351}{9.8 \ } \ segundos }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{114.7152872702 }{9.8 \ } \ segundos }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { t _{v} =11.7056\ segundos }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { t _{v} =11.71 \ segundos }}[/tex]

El tiempo de vuelo del proyectil es de 11.71 segundos

2) Hallamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}[/tex]

Donde

[tex]\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }[/tex]

[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]

[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]

[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]

[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]

[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(100 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (35^o) }{2 \ . \ 9.8\ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{10000\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.573576436351)^{2} }{19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{10000 \ . \ 0.3289899283371 }{ 19.6\ } \ metros }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{3289.899283371 }{ 19.6\ } \ metros }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { H_{max} = 167.85200\ metros }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 167.85\ metros }}[/tex]

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 167.85 metros

3) Cálculo del alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}[/tex]

Donde

[tex]\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }[/tex]

[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]

[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]

[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]

[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 100 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 35^o ) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 10000 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (70^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 10000 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.9396926207859 }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 10000 \ . \ 0.9396926207859 }{ 9.8 } \ metros }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{9396.926207859 }{ 9.8 } \ metros }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x_{max} =958.87002\ metros }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} = 958.87 \ metros }}[/tex]

El alcance máximo del proyectil es de 958.87 metros

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento