Un golfista realiza un tiro con un angulo de 30 grados a una velodidad de 40 m/s. Calcula la distancia que recorre antes de volver a tocar el cesped (alcance horizontal máximo).
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El alcance horizontal máximo del proyectil es de 138.56 metros, recorriendo esa distancia antes de volver a tocar el césped
Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.
Solución
Hallamos el alcance máximo
La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\bold \ \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (40 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 30 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{1600\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (60 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{1600\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{ 10 } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{\not2 \ . \ 800\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{ 10 } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 800\ \ . \ \sqrt{3} }{ 10 } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ \not 10 \ . \ 80\ \ . \ \sqrt{3} }{\not 10 } \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} =80\sqrt{3} \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} =138.56 \ metros }}[/tex]
El alcance horizontal máximo del proyectil es de 138.56 metros
Aunque el enunciado no lo pida
Hallamos el tiempo de vuelo
La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (40 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (30^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de sen de 30 grados es de }\bold{ \frac{1}{2} }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{80\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{1}{2} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{80\ \ . \ \frac{1}{2} }{10 } \ segundos }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ \frac{80}{2} }{10 } \ segundos }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40 }{10 } \ segundos }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t _{v} =4 \ segundos }}[/tex]
El tiempo de vuelo del proyectil es de 4 segundos
Determinamos la altura máxima
La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(40 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (30^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de sen de 30 grados es de }\bold{ \frac{1}{2} }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1600\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{1}{2}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1600\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{1}{4} }{ 20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1600\ \ . \ \frac{1}{4} }{ 20\ } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{1600}{4} }{ 20\ } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 400 }{20\ } \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 20\ metros }}[/tex]
La altura máxima que alcanza el proyectil es de 20 metros
Se adjunta gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento