Un futbolista patea un balón y le imprime una velocidad de 36m/s, además, lo hace con un ángulo de 60° respecto a la horizontal. El alcance máximo horizontal del balón es de
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El alcance máximo del balón es de 112.24 metros
Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.
Alcance horizontal o máximo
La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (36 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 60 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{1296\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (120 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de sen de 120 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{1296 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{ 10 } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{\not2 \ . \ 648\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{ 10 } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 648 \ . \ \sqrt{3} }{ 10 } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =112.23689 \ metros }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} =112.24 \ metros }}[/tex]
El alcance máximo del balón es de 112.24 metros
Aunque el enunciado no lo pida
Tiempo de vuelo
La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (36\ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (60^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{72\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{72 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{10 } \ s }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{\not2 \ . \ 36\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{10 } \ s }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 36\sqrt{3} }{10 } \ s }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =6.23538 \ segundos }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t _{v} =6.23 \ segundos }}[/tex]
El tiempo de vuelo del balón es de 6.23 segundos
Altura máxima
La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(36 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (60^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1296\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{\sqrt{3} }{2}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1296\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{3}{4} }{ 20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{1296\ \ . \ \frac{3}{4} }{ 20\ } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{3888}{4} }{ 20\ } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 972 }{20\ } \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 48.6\ metros }}[/tex]
La altura máxima que alcanza el balón es de 48.6 metros
Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento
Como se puede apreciar se describe una parábola