Se dispara un proyectil al aire desde la cima de una montaña a 200 m por encima de un valle (ver figura). Su velocidad inicial es de 60,0 m/s a 60,0° respecto a la horizontal. Despreciando la resistencia del aire, Determine lo siguiente
a. El módulo de velocidad justo antes de impactar en el suelo.
b. El alcance horizontal respecto del punto de lanzamiento.
a. El módulo de velocidad justo antes de impactar en el suelo.
b. El alcance horizontal respecto del punto de lanzamiento.
a) La velocidad del proyectil al impactar el suelo es de 87.17 m/s
b) El alcance horizontal del proyectil es de 401.4 m
Solución:
Hallamos las componentes horizontal y vertical para una [tex]\bold { V_{0} = \ 60\ \frac{m}{s} }[/tex]
Velocidad horizontal
Velocidad inicial sobre el eje x
[tex]\boxed {\bold { {V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{0x} = 60 \ \frac{m}{s} \ . \ cos \ 60^o }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de cos de 60 es } \bold {\frac{ 1 } {2 } }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { V_{0x} = 30\ \frac{m}{s} }}[/tex]
Velocidad vertical
Velocidad inicial sobre el eje y
[tex]\boxed {\bold { {V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{0y} =60\ \frac{m}{s} \ . \ sen \ 60^o }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {2 } }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { V_{0y} =60\ \frac{m}{s} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { V_{0y} = 30\sqrt{3} \ \frac{m}{s} }}[/tex]
Tiempo de vuelo
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:
[tex]\large\boxed {\bold { y =H + {V_{0y} \ . \ t \ -\frac{g \ . \ t^{2} }{2} }}}[/tex]
[tex]\large \textsf{Tomamos como valor de gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
Dado que el proyectil fue lanzado desde la cima de una montaña desde una altura de 200 m
[tex]\boxed {\bold { y =H + {V_{0y} \ . \ t \ -\frac{g \ . \ t^{2} }{2} }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = 200 \ m \ + 30\sqrt{3} \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -\frac{10\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} }{2} } }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = 200 \ m \ + 30\sqrt{3} \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -5\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 0 = 200 \ m \ + 30\sqrt{3} \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -5\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \ -5\ \frac{m}{s^{2} } . \ t^{2} +30\sqrt{3} \ \frac{m}{s} \ . \ t \ + \ 200 \ m = 0 }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Se tiene una ecuaci\'on cuadr\'atica }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { -5\ t^{2} +30\sqrt{3} \ t \ + \ 200 \ = 0 }}[/tex]
[tex]\textsf{Empleamos la f\'ormula cuadr\'atica }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}[/tex]
[tex]\textsf {Sustituimos los valores de} \ \bold{a = -5, \ b =30\sqrt{3} \ y \ c = 200 }[/tex]
[tex]\large\textsf{Resolvemos para t}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{t = \frac{-30\sqrt{3} \pm \sqrt{ ( 30\sqrt{3} )^2 - 4\ . \ (-5 \ . \ 200) } }{2 \ . \ -5} }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{t = \frac{-30\sqrt{3} \pm \sqrt{ 900 \ . \ 3 - 4\ . \ (-1000) } }{-10 } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{t = \frac{30\sqrt{3} \pm \sqrt{ 2700 +4000 } }{-10 } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{t = \frac{-30\sqrt{3} \pm \sqrt{ 6700 } }{-10 } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{t = \frac{-30\sqrt{3} \pm \sqrt{ 100 \ . \ 67 } }{-10 } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{t = \frac{-30\sqrt{3} \pm10 \sqrt{ \ 67 } }{-10 } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ t= 3\sqrt{3} \ \pm \ \sqrt{67} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{ t= 13.38\ , \ -2.98 }}[/tex]
[tex]\large\textsf {Se toma la soluci\'on positiva }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{ t_{V} = 13.38 \ segundos }}[/tex]
El tiempo de vuelo es de 13.38 segundos
a) Hallamos la velocidad de impacto
Eje x - Eje horizontal
En el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Se toma la velocidad inicial
[tex]\large\boxed {\bold { {V_x} =30 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
Eje y - Eje vertical
En el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =V_{0y}- g\ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { {V_y} =30\sqrt{3} \ \frac{m}{s} \ - 10 \ \frac{m}{s^{\not2} } \ . \ 13.38 \not s }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { {V_y} =30\sqrt{3} \ \frac{m}{s} \ - 133.80 \ \frac{m}{s } }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { {V_y} =-81.84 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
La velocidad final del proyectil se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(30 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-81.84 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{900 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } +6697.7856 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{7597.7856 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 87.16527 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| =87.17 \ \frac{m}{s} }}[/tex]
b) Alcance horizontal
Como en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos la velocidad inicial y la multiplicamos por el tiempo
[tex]\large\boxed {\bold {x_{MAX} =V_{0x} \ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {x_{MAX} = 30\ \frac{m}{\not s}\ . \ 13.38 \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x_{MAX} =401.4 \ m }}[/tex]
Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento