un cañon dispara un proyectil en forma horizontal con una velocidad inicial de 10 m/s desde un punto situado a una altura de 10 m sobre el nivel del mar. calcule el alcance horizontal del proyectil considerar g=10m/s
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El alcance horizontal del proyectil [tex]\bold { x_{MAX} }[/tex] es de 14.14 metros
Se trata de un problema de tiro horizontal
El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.
Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad
Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical
Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal [tex]\bold { V_{x} }[/tex] debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que [tex]\bold { V_{y} = 0 }[/tex], luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.
Las ecuaciones del tiro horizontal son
Para el eje x (MRU)
[tex]\boxed {\bold { x =x_{0} +V_{x} \ . \ t }}[/tex]
Para el eje y (MRUV)
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =V_{0y} +a_{y} \ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}[/tex]
Dado que
[tex]\boxed {\bold { y_{0}= H }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{0}= 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { a_{y}= g }}[/tex]
Podemos reescribir como:
Posición
Para el eje x
[tex]\boxed {\bold { x =x_{0} +V \ . \ t }}[/tex]
Para el eje y
[tex]\boxed {\bold { y =H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
Velocidad
Para el eje x
[tex]\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}[/tex]
[tex]\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{x} = 0[/tex]
Para el eje y
[tex]\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}[/tex]
[tex]\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{y} =g[/tex]
SOLUCIÓN
Calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del proyectil
[tex]\large\textsf{ Por imposici\'on de enunciado tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
Considerando la altura H desde donde se ha lanzado [tex]\bold {H= 10 \ m }[/tex]
Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:
[tex]\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\bold{y= 0}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 10 \ m }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 20 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t = \sqrt{2\ s^{2} } } }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t = 1.414 \ segundos } }[/tex]
El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del proyectil es de 1.414 segundos
Calculamos el alcance horizontal del proyectil
Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo
[tex]\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { d =10 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 1.414\ \not s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { d = 14.14 \ metros}}[/tex]
El alcance horizontal del proyectil [tex]\bold { x_{MAX} }[/tex] es de 14.14 metros
Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento