Question

Rzucamy trzy razy symetryczna kostka ,oblicz prawdopodobieństwo:
a)ze wypadnie dwa razy ta sama liczba oczek

Answer 1

Prawdopodobieństwo zdarzeń.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa:

[tex]P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}[/tex]

[tex]A[/tex] - zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu [tex]A[/tex]

[tex]\Omega[/tex] - zbiór wszystkich możliwych zdarzeń (przestrzeń probabilistyczna)

[tex]|A|,\ |\Omega|[/tex] - moc zbioru (liczba elementów zbioru)

ROZWIĄZANIE:

Rzucamy trzy razy symetryczna kostka, oblicz prawdopodobieństwo, że wypadnie dwa razy ta sama liczba oczek.

Pytanie jest troszkę nieścisłe, ponieważ nie wiadomo, czy mamy rozpatrzyć również zdarzenie, że trzy razy wypadnie ta sama liczba oczek.

Zabrakło słowa dokładnie.

Rozpatrzymy dwa przypadki.

Przestrzeń probabilistyczna w obu przypadkach jest taka sama:

[tex]\Omega=\bigg\{(x,y,z):x,y,z\in\{1,2,3,4,5,6\}\bigg\}\\\\|\Omega|=6\cdot6\cdot6=6^3=216[/tex]

Przypadek 1:

Dokładnie dwa razy ta sama liczba oczek.

[tex]A=\bigg\{(x,y,z):x,y,z\in\{1,2,3,4,5,6\}\ \wedge\ (x=y\ \vee\ x=z\ \vee\ y=z)\bigg\}[/tex]

[tex]|A|=(6\cdot1\cdot5)\cdot3=90[/tex]

W pierwszym rzucie każde 6 możliwości ilości oczek.

W drugim rzucie tylko jedna możliwość.

W trzecim rzucie 5 możliwości, bez ilości wyrzuconej w 1. i 2. rzucie.

3 możliwości równości liczby oczek w trzech rzutach.

Obliczamy prawdopodobieństwo:

[tex]P(A)=\dfrac{90}{216}=\dfrac{5}{12}[/tex]

Przypadek 2:

Dwa razy ta sam liczba oczek.

[tex]A=\bigg\{(x,y,z):x,y,z\in\{1,2,3,4,5,6\}\ \wedge\ (x=y\ \vee\ x=z\ \vee\ y=z\ \vee\ x=y=z)\bigg\}[/tex]

Łatwiej nam będzie obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

[tex]A'[/tex] - zdarzenie polegające na wyrzuceniu różnej ilości oczek w każdym rzucie

[tex]A'=\bigg\{(x,y,z):x,y,z\in\{1,2,3,4,5,6\}\ \wedge\ x\neq y\neq z\neq x\bigg\}[/tex]

[tex]|A'|=6\cdot5\cdot4=120[/tex]

Obliczamy prawdopodobieństwo:

[tex]P(A')=\dfrac{120}{216}=\dfrac{5}{9}\\\\P(A)=1-P(A')\\\\P(A)=1-\dfrac{5}{9}=\dfrac{4}{9}[/tex]