Question

Rzucamy trzy razy symetryczna kostka ,oblicz prawdopodobieństwo:
a)ze wypadnie dwa razy ta sama liczba oczek
b)suma oczek z wszystkich rzutów będzie większa niż 11
c)iloczyn oczek z wszystkich rzutów będzie nie większy niż 8

Answer 1

[tex]\huge\boxed{P(A)=\dfrac49}[/tex]

[tex]\huge\boxed{P(B)=\dfrac{31}{72}}[/tex]

[tex]\huge\boxed{P(C)=\dfrac{31}{216}}[/tex]

Prawdopodobieństwo klasyczne

Prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia to inaczej szansa zajścia tego zdarzenia.

Jako Ω oznaczamy przestrzeń wszystkich zdarzeń, które mogą zajść w rozpatrywanym doświadczeniu. Wtedy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A określonego w przestrzeni Ω liczymy jako:

[tex]P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}[/tex]

gdzie [tex]|A|[/tex] to ilość wszystkich interesujących nas zdarzeń, a [tex]|\Omega|[/tex] to ilość wszystkich zdarzeń.

Rozwiązanie:

Rzucamy trzy razy symetryczną kostką. Ilość wszystkich możliwych do wyrzucenia trójek liczb wynosi:

[tex]|\Omega|=6\cdot6\cdot6=216[/tex]

a) Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że dwa razy wypadła ta sama liczba.

Takich wyników, gdzie wypadła dokładnie dwa razy ta sama liczba, mamy:

[tex]6\cdot1\cdot5\cdot3=90[/tex]

Wyników rzutu, gdzie wypadły trzy takie same liczby mamy 6, zatem moc zbioru A to:

[tex]|A|=90+6=96[/tex]

[tex]P(A)=\dfrac{96}{216}=\dfrac49[/tex]

b) Niech B oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma oczek z wszystkich rzutów będzie większa od 11. Znajdziemy ilość elementów zdarzenia B:

Dla kolejnych możliwych wyników mamy:

6,6,6 - 1 wynik

6,6,5 - 3 wyniki

6,6,4 - 3 wyniki

6,6,3 - 3 wyniki

6,6,2 - 3 wyniki

6,6,1 - 3 wyniki

6,5,1 - 6 wyników

6,5,2 - 6 wyników

6,5,3 - 6 wyników

6,5,4 - 6 wyników

6,5,5 - 3 wyniki

6,4,2 - 6 wyników

6,4,3 - 6 wyników

6,4,4 - 3 wyniki

6,3,3 - 3 wyniki

5,5,5 - 1 wynik

5,5,4 - 3 wyniki

5,5,3 - 3 wyniki

5,5,2 - 3 wyniki

5,4,3 - 6 wyników

5,4,4 - 3 wyniki

5,3,4 - 6 wyników

4,4,4 - 1 wynik

4,4,5 - 3 wyniki

3,3,6 - 3 wyniki

[tex]|B|=93[/tex]

[tex]P(B)=\dfrac{93}{216}=\dfrac{31}{72}[/tex]

c) Niech zdarzenie C polega na tym, że iloczyn oczek z wszystkich rzutów będzie nie większy niż 8. Znajdziemy ilość elementów zbioru C:

Mamy kolejno ilość możliwych wyników:

1,1,1 - 1 wynik

1,1,2 - 3 wyniki

1,1,3 - 3 wyniki

1,1,4 - 3 wyniki

1,1,5 - 3 wyniki

1,1,6 - 3 wyniki

1,2,2 - 3 wyniki

1,2,3 - 6 wyników

1,2,4 - 6 wyników

[tex]|C|=31[/tex]

[tex]P(C)=\dfrac{31}{216}[/tex]