Question

Rzucamy trzema monetami. Niech X będzie liczbą wyrzuconych orłów, Y- liczba reszek. a)Czy X,Y są skorelowane? Podaj rxy b)Napisz równanie prostej regresji

Answer 1

a) i od razu b)

Od razu można udzielić odpowiedzi, gdyż X i Y są komplementarne tzn. jeśli w N=3 rzutach uzyskamy X orłów to Y=N-X.

Daje to współczynnik korelacji corr(X,Y)=-1 oraz prostą regresji

y=3-x

Policzmy jednak wszystko ab ovo...

Najpierw kowariancja

[tex]\mbox{cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)[/tex]

do policzenia wartości oczekiwanych potrzebny jest rozkład prawdopodobieństwa. Zarówno X jak i Y opisywane są rozkładem dwumianowym (n=3, p=0.5)

[tex]P(X=k)=(^3_k)\cdot\frac{1}{2^3}\\P(X=0)=\frac{1}{8}\\P(X=1)=\frac{3}{8}\\P(X=2)=\frac{3}{8}\\P(X=3)=\frac{1}{8}[/tex]

Pozwala to policzyć E(X) oraz E(Y=3-X)

[tex]E(X)=\frac{1}{8}(0\cdot1+1\cdot3+2\cdot3+3\cdot1)=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\\E(Y)=E(3-X)=E(3)-E(X)=\frac{3}{2}[/tex]

a także E(XY)

[tex]E(XY)=\frac{1}{8}(0\cdot3\cdot1+1\cdot2\cdot3+2\cdot1\cdot3+3\cdot0\cdot1)=\frac{3}{2}\\\mbox{cov}(X,Y)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}=-\frac{3}{4}[/tex]

współczynnik korelacji jest zdefiniowany jako:

[tex]r=\mbox{corr}(X,Y)=\frac{\mbox{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\\\sigma_X=\sigma_Y=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt3}{2}\\r=\frac{-3/4}{3/4}=-1[/tex]

wykorzystałem tu gotowy wzór na odchylenie standardowe rozkładu dwumianowego, ale można także liczyć z definicji:

[tex]\sigma^2_X=E(X^2)-E^2(X)=\frac{1\cdot3+2^2\cdot3+9}{8}-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}[/tex]

otrzymany współczynnik korelacji jest też współczynnikiem kierunkowym prostej regresji, natomiast wyraz wolny można obliczyć ze wzoru

[tex]y=rx+b\\b=E(Y)-rE(X)\\b=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\\y=-x+3[/tex]

pozdrawiam