Question

Rzucamy dwa razy kostką szeście3nną. Które z poniższych zdarzeń jest najmniej prawdopodobne?

A. A - liczby oczek otrzymanych w obu rzutach różnią się o więcej niż 1

B. B - suma oczek wyrzuconych w obu rzutach jest mniejsza od 8

C. C - co najmniej raz wyrzucono parzystą liczbę oczek

D. D - w pierwszym rzucie wyrzucono więcej oczek niż w drugim

Answer 1

D jest zdarzeniem najmniej prawdopodobnym.

Rachunek prawdopodobieństwa.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa:

[tex]P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}[/tex]

[tex]A[/tex] - zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu [tex]A[/tex]

[tex]\Omega[/tex] - zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych

[tex]|A|,\ |\Omega|[/tex] - moc zbioru (liczba elementów zbioru)

ROZWIĄZANIE:

[tex]\Omega=\bigg\{(x,y):x,y\in\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\bigg\}\\\\|\Omega|=6^2=36[/tex]

[tex]A[/tex] - liczby oczek otrzymanych w obu rzutach różnią się o więcej niż 1

[tex]A=\bigg\{(x,y):x,y\in\{1,2,3,4,5,6\}\ \wedge\ |x-y| > 1\bigg\}\\\\A=\{(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6),(3,1),(3,5), (3,6), (4,1), (4,2),\\(4,6),(5,1), (5,2), (5,3), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4)\}\\\\|A|=20\\\\P(A)=\dfrac{20}{36}[/tex]

[tex]B[/tex] - suma oczek wyrzuconych w obu rzutach jest mniejsza od 8

[tex]B=\bigg\{(x,y):x,y\in\{1,2,3,4,5,6\}\ \wedge\ x+y < 8\bigg\}\\\\B=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),\\(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(6,1)\}\\\\|B|=20\\\\P(B)=\dfrac{20}{36}[/tex]

[tex]C[/tex] - co najmniej raz wyrzucono parzystą liczbę oczek

Wygodniej będzie określić zdarzenie przeciwne.

[tex]C'[/tex] - dwa razy wyrzucono nieparzystą liczbę oczek

[tex]C'=\bigg\{(x,y):x,y\in\{1,3,5\}\bigg\}\\\\|C'|=3^2=9\\\\P(C')=\dfrac{9}{36}\\\\P(C)=1-P(C')\to P(C)=1-\dfrac{9}{36}=\dfrac{36}{36}-\dfrac{9}{36}=\dfrac{21}{36}[/tex]

[tex]D[/tex] - w pierwszym rzucie wyrzucono więcej oczek niż w drugim

[tex]D=\bigg\{(x,y):x,y\in\{1,2,3,4,5,6\}\ \wedge\ x > y\bigg\}\\\\D=\{(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),\\(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)\}\\\\|D|=15\\\\P(D)=\dfrac{15}{36}[/tex]

Porównujemy prawdopodobieństwa:

[tex]P(D)=\dfrac{15}{36} < P(A)=P(B)=\dfrac{20}{36} < P(C)=\dfrac{21}{36}[/tex]

Odp: Najmniej prawdopodobne zdarzenie jest zdarzenie D.