Question

Rzucamy 2 razy kostką. Jeżeli wypadnie suma oczek mniejsza niż 5 - wygrywamy 60 zł, jeżeli równa 5 lub 6 - wygrywamy 20 zł, jeżeli większa od 6 - przegrywamy 24 zł. Czy gra jest sprawiedliwa?

Answer 1

Odpowiedź:

|Ω|=6*6=36

Aby stwierdzić czy gra jest sprawiedliwa należy wyliczyć zmienną losową oczekiwaną EX Jeżeli wyjdzie 0 , jest sprawiedliwa.

[tex]\displaystyle EX=x_1p_1+x_2p_2+...x_np_n \quad \mbox{gdzie }\quad p_1+p_2+...+p_n=1[/tex]

p₁-suma oczek w dwóch rzutach mniejsza niż 5

(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(3,1)(2,2)

[tex]\displaystyle p_1=\frac{6}{36} =\frac{1}{6}[/tex]

[tex]\displaystyle x_1=+60[/tex]

p₂- suma oczek równa 5 lub 6

(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)

[tex]\displaystyle p_2=\frac{9}{36} =\frac{1}{4}\\x_2=+20[/tex]

p₃- suma oczek większa od 6

Wszystkich będzie 36-6-9=21

[tex]\displaystyle p_3=\frac{21}{36} =\frac{7}{12} \\x_3=-24[/tex]

[tex]\displaystyle EX=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3\\EX=60\cdot\frac{1}{6} +20\cdot\frac{1}{4} -24\cdot\frac{7}{12} =10+5-14=1[/tex]

Gra jest niesprawiedliwa , bardziej korzystna dla wygrywającego 60 lu 20 zł