Question

Rozwiaz rownanie i nierownosc cyklometryczna

Answer 1

Rozwiązanie:

[tex]\text{a})[/tex]

[tex]$\text{arctg} \ 3^x-\text{arctg} \ 3^{-x}=\frac{\pi}{6}[/tex]

Nakładamy obustronnie tangensa:

[tex]$\text{tg} (\text{arctg} \ 3^x - \text{arctg} \ 3^{-x}) =\text{tg} \ \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]

Korzystamy ze wzoru:

[tex]$\text{tg} (\alpha-\beta)=\frac{\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta}{1+\text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta}[/tex]

oraz z zależności [tex]\text{tg} (\text{arctg} \ \alpha) = \alpha[/tex] :

[tex]$\frac{3^x-3^{-x}}{1+3^{x} \cdot 3^{-x}} =\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]

[tex]$\frac{3^x-3^{-x}}{1+1} =\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]

[tex]3(3^x-3^{-x})=2\sqrt{3}[/tex]

[tex]3(3^{2x}-1)=2\sqrt{3} \cdot 3^{x}[/tex]

[tex]3 \cdot 3^{2x}-2\sqrt{3} \cdot 3^{x}-3=0[/tex]

Podstawiamy [tex]u=3^x[/tex] gdzie [tex]u > 0[/tex] :

[tex]3u^2-2\sqrt{3}u-3=0[/tex]

[tex]\Delta_{u}=12-4 \cdot 3 \cdot (-3)=48[/tex]

[tex]$u_{1}=\frac{2\sqrt{3}-4\sqrt{3}}{6} < 0 \notin D \ \vee \ u_{2}=\frac{2\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3} > 0 \in D[/tex]

Zatem:

[tex]$3^{x}=\sqrt{3} \iff x= \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\text{b} )[/tex]

[tex]\arcsin(\log x) > 0[/tex]

Dziedzina:

[tex]$-1\leq \log x\leq 1 \iff \frac{1}{10}\leq x\leq 10[/tex]

Rozwiązanie:

[tex]\arcsin(\log x) > \arcsin 0[/tex]

Opuszczamy arcusa sinusa (funkcja rosnąca - nie zmieniamy znaku nierówności) :

[tex]\log x > 0[/tex]

[tex]\log x > \log 1 \iff x > 1[/tex]

Ostatecznie uwzględniając dziedzinę:

[tex]x \in(1,10 \rangle[/tex]