Question

rozwiaz nierownosc z modulem

Answer 1

[tex]\large\text{$x\in(0,\,\frac12\big > $}[/tex]

Nierówność z modułem

rozwiązujemy w zależności od znaku wyrażenia w module.

                      [tex]|x|=\left\{\big{x\ \ \ dla\,\ x\geq0}\atop \big{-x\ \ dla\ x < 0}[/tex]

Czyli:

• jeśli wyrażenie wewnątrz modułu jest nieujemne, to po prostu opuszczamy znak wartości bezwzględnej,
• jeśli wyrażenie wewnątrz modułu jest ujemne, to opuszczając znak wartości bezwzględnej, zmieniamy znak tego wyrażenia.

Dziedzina wyrażenia

to:   D = R\{0}        {bo mianownik nie może być równy 0}

1. przypadek

x - 1 > 0   ⇔    x ≥ 1

Wtedy mamy:

[tex]\frac{x-1}x\geq1\qquad /\cdot x\\\\x-1\ge x\\\\-1\ge0[/tex]

Sprzeczność, czyli brak rozwiązania ≥ 1

2. przypadek

x - 1 < 0    ⇔    x ≤ 1

Czyli mamy:

[tex]\frac{-x+1}x\geq1[/tex]

Nie możemy mnożyć przez x jeżeli nie znamy znaku x, czyli ponownie rozbijamy na dwa przypadki:

2.1.    x < 0                                               2.2.  x∈(0, 1)

[tex]\frac{-x+1}x\geq1\qquad /\cdot x\\\\-x+1\le x\\\\-2x\le-1\qquad/:(-2)\\\\x\ge\frac12\quad \wedge\quad x < 0[/tex]                            [tex]\frac{-x+1}x\geq1\qquad /\cdot x\\\\-x+1\ge x\\\\-2x\ge-1\qquad/:(-2)\\\\x\le\frac12\quad \wedge\quad x \in(0,\,1\big >[/tex]      

Sprzeczność, czyli
brak rozwiązań ujemnych                

                                                               [tex]\Large\text{$\bold{x\in(0,\,\frac12\big > }$}[/tex]