Question

Rozwiąż układy równań dowolną metodą. Napisz czy układ oznaczyony i nie oznaczony
a) -2(x+y)+3(x-y)=-4
5(x+y)-7(x-y)=2
b) 3x-8-(5x+4y)=x-2y
-4+2(x-y)-3x=0

Answer 1

Układ równań

Układem równań nazywa się związek przynajmniej dwóch równań

Przykład:

[tex]\huge\boxed{\left \{ {{x+2y=5} \atop {2x-y=0}} \right. }[/tex]

Rozwiązaniem takiego układu równań jest para dwóch liczb (x, y) która spełnia obydwa równania.

Układ równań z dwoma niewiadomymi rozwiązuje się na dwa sposoby:

• metoda podstawiania - polega na wyznaczeniu z jednego z równań jednej niewiadomej i podstawieniu jej do drugiego równania.
  [tex]\huge\boxed{\left \{ {{x+2y=5 /-2y} \atop {2x-y=0}} \right. \to \left \{ {{x=5-2y} \atop {2(5-2y)-y=0}} \right. }[/tex]
• metoda przeciwnych współczynników - polega na dodawaniu równań stronami w sytuacji, gdy przy tej samej niewiadomej w obu równaniach mamy przeciwne współczynniki.
  [tex]\large\boxed{\left \{ {{x+2y=5 /*(-2)} \atop {2x-y=0}} \right. \to \left \{ {{-2x-4y=-10} \atop {2x-y=0}} \to -4y-y=-10+0\right. }[/tex]

Rozwiązanie:

a)

[tex]\left \{ {{-2(x+y)+3(x-y)=-4} \atop {5(x+y)-7(x-y)}=2} \right. \\\left \{ {{-2x-2y+3x-3y=-4} \atop {5x+5y-7x+7y=2}} \right. \\\left \{ {{x-5y=-4} \atop {-2x+12y=2}} \right.[/tex]

I. Metoda podstawiania

[tex]\left \{ {{x-5y=-4 /+5y} \atop {-2x+12y=2}} \right. \\\left \{ {{x=-4+5y} \atop {-2(-4+5y)+12y=2}} \right. \\\left \{ {{x=-4+5y} \atop {8-10y+12y=2 /-8}} \right. \\\left \{ {{x=-4+5y} \atop {2y=-6 /:2}} \right. \\\left \{ {{x=-4+5y} \atop {y=-3}} \right. \\\left \{ {{x=-4+5*(-3)} \atop {y=-3}} \right. \\\left \{ {{x=-4-15} \atop {y=-3}} \right. \\\boxed{\left \{ {{x=-19} \atop {y=-3}}} \right.[/tex]

II. Metoda przeciwnych wspolczynnikow

[tex]\left \{ {{x-5y=-4 /*2} \atop {-2x+12y=2}} \right. \\\underline{+\left \{ {{2x-10y=-8} \atop {-2x+12y=2}} \right. }\\-10y+12y=-8+2\\2y=-6 /:2\\y=-3\\x-5*(-3)=-4\\x+15=-4 /-15\\x=-19\\\boxed{\left \{ {{x=-19} \atop {y=-3}} \right. }[/tex]

Układ oznaczony

b)

[tex]\left \{ {{3x-8-(5x+4y)=x-2y} \atop {-4+2(x-y)-3x=0}} \right. \\\left \{ {{3x-8-5x-4y=x-2y} \atop {-4+2x-2y-3x=0}} \right. \\\left \{ {{3x-5x-x-4y+2y=8} \atop {2x-3x-2y=4}} \right. \\\left \{ {{-3x-2y=8} \atop {-x-2y=4 }} \right.[/tex]

I. Metoda podstawiania

[tex]\left \{ {{-3x-2y=8} \atop {-x-2y=4 /+2y}} \right. \\\left \{ {{-3x-2y=8} \atop {-x=4+2y }} \right. \\\left \{ {{3(4+2y)-2y=8} \atop {-x=4+2y }} \right. \\\left \{ {{12+6y-2y=8} \atop {-x=4+2y }} \right. \\\left \{ {{4y=8-12} \atop {-x=4+2y }} \right. \\\left \{ {{4y=-4 /:4} \atop {-x=4+2y }} \right. \\\left \{ {{y=-1} \atop {-x=4+2*(-1)}} \right. \\\left \{ {{y=-1} \atop {-x=4-2}} \right. \\\left \{ {{y=-1} \atop {-x=2 /*(-1)}} \right. \\\boxed{\left \{ {{y=-1} \atop {x=-2}} \right. }[/tex]

II. Metoda przeciwnych współczynników

[tex]\left \{ {{-3x-2y=8} \atop {-x-2y=4 /*(-1)}} \right. \\\underline{+\left \{ {{-3x-2y=8} \atop {x+2y=-4}} \right. }\\-3x+x=8-4\\-2x=4 /:(-2)\\x=-2\\-2+2y=-4 /+2\\2y=-2 /:2\\y=-1\\\boxed{\left \{ {{x=-2} \atop {y=-1}} \right. }[/tex]

Układ oznaczony