Question

Rozwiąż trójkąta ABC o podanych kątach i boku kąt a = 70 stopni kąt b = 30°, a b = 4​

Answer 1

Verified answer

Witaj :)

  Naszym zadaniem jest rozwiązać trójkąt ABC o podanych wartościach kątów i boków.

Co to znaczy rozwiązać trójkąt?

  Rozwiązać trójkąt oznacza znaleźć wszystkie długości jego boków oraz wszystkie miary jego kątów wewnętrznych. Z pomocą w rozwiązywaniu trójkąta przychodzą nam pewne twierdzenia oraz własności:

• Twierdzenie sinusów - "Stosunek długości danego boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku jest wielkością stałą równą średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie."

                            [tex]\Large \boxed{\frac{a}{\sin \alpha} =\frac{b}{\sin \beta} =\frac{c}{\sin \gamma} =2R}[/tex]

gdzie:

a, b, c - długości boków trójkąta,

R - promień okręgu opisanego na trójkącie.

• Twierdzenie cosinusów - "Kwadrat długości danego boku w dowolnym trójkącie jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków pomniejszony o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinus kąta między tymi bokami."

                                [tex]\Large \boxed{a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha}[/tex]

                                [tex]\Large \boxed{b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta}[/tex]

                                [tex]\Large \boxed{c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma}[/tex]

• Suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie - "W dowolnym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych jest równa mierze kąta półpełnego."

                                       [tex]\Large \boxed{\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}[/tex]

Uwaga!!! Wszystkie oznaczenia są zgodne z załączonym rysunkiem trójkąta.

OBLICZENIA

Dane:

[tex]\alpha =70^\circ\\\beta =30^\circ\\b=4[/tex]

• Korzystając z sumy miar kątów wewnętrznych trójkąta, obliczamy miarę kąta γ

[tex]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\\\\70^\circ+30^\circ+\gamma=180^\circ\\\\100^\circ+\gamma=180^\circ\ /-100^\circ\\\\\gamma=180^\circ-100^\circ\\\\\boxed{\gamma=80^\circ}[/tex]

• Korzystając z twierdzenia sinusów, obliczamy długość boku "a"

[tex]\frac{a}{\sin\alpha} =\frac{b}{\sin\beta}\\ \\\frac{a}{\sin 70^\circ} =\frac{4}{\sin 30^\circ}[/tex]

  Wartość sinusa 70° odczytujemy z tablic, natomiast sinusa 30° z tabelki (kąty 30,45,60,90°).

[tex]\sin 70^\circ=0,9397\ \wedge\ \sin 30^\circ=\frac{1}{2}[/tex]

Zatem:

[tex]\frac{a}{0,9397}=\frac{4}{\frac{1}{2} }\\ \\ \frac{a}{0,9397}=8\ /\cdot 0,9397\\ \\a=8\cdot 0,9397\\\\\boxed{a\approx 7,52}[/tex]

• Korzystając z twierdzenia cosinusów, obliczamy długość boku "c"

[tex]c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\\\\c^2=(7,52)^2+4^2-2\cdot 7,52\cdot 4\cdot \cos80^\circ[/tex]

  Wartość cosinusa 80° odczytujemy z tabeli.

[tex]\cos 80^\circ=0,1736[/tex]

Zatem:

[tex]c^2=56,55+16-60,16\cdot 0,1736\\\\c^2=72,55-10,44\\\\c^2=62,11\ /(\sqrt{...})\\\\c=\sqrt{62,11}\\\\\boxed{c\approx 7,88}\ \ \vee\ \ \ c\approx -7,88\implies odrzucamy[/tex]

Odpowiedź.: Długości boków trójkąta ABC i miary jego kątów wewnętrznych są następujące:

                                                    [tex]a\approx 7,52\\b=4\\c\approx 7,88\\\alpha =70^\circ\\\beta =30^\circ\\\gamma=80^\circ[/tex]