Twierdzenie sinusów mówi nam, że w dowolnym trójkącie iloraz długości boku trójkąta i sinusa kąta znajdującego się naprzeciwko tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.
Jeśli wprowadzimy oznaczenia: a, b, c - długości boków trójkąta, [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex] - miary kątów leżących odpowiednio naprzeciw boków a, b i c, R - długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, to możemy zapisać równość:
Rozwiązać trójkąt to znaczy znaleźć długości wszystkich jego boków i miary wszystkich jego kątów.
Rozwiązanie:
Niech [tex]|AB|=c,|BC|=a,|AC|=b[/tex] oraz naprzeciwko tych boków niech leżą kąty odpowiednio [tex]\gamma,\alpha,\beta[/tex] (rysunek pomocniczy w załączniku). Zgodnie z danymi w zadaniu mamy:
[tex]b=8cm\\\\a=16cm\\\\\alpha=45^o[/tex]
Korzystając z twierdzenia sinusów, możemy wyznaczyć miarę kąta [tex]\beta[/tex]:
[tex]\huge\boxed{|AB|\approx20,67cm,|AC|=8cm,|BC|=16cm}[/tex]
[tex]\huge\boxed{\alpha=45^o,\beta\approx21^o,\gamma=114^o}[/tex]
Twierdzenie sinusów
Twierdzenie sinusów mówi nam, że w dowolnym trójkącie iloraz długości boku trójkąta i sinusa kąta znajdującego się naprzeciwko tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.
Jeśli wprowadzimy oznaczenia: a, b, c - długości boków trójkąta, [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex] - miary kątów leżących odpowiednio naprzeciw boków a, b i c, R - długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, to możemy zapisać równość:
[tex]\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R[/tex]
Rozwiązywanie trójkąta
Rozwiązać trójkąt to znaczy znaleźć długości wszystkich jego boków i miary wszystkich jego kątów.
Rozwiązanie:
Niech [tex]|AB|=c,|BC|=a,|AC|=b[/tex] oraz naprzeciwko tych boków niech leżą kąty odpowiednio [tex]\gamma,\alpha,\beta[/tex] (rysunek pomocniczy w załączniku). Zgodnie z danymi w zadaniu mamy:
[tex]b=8cm\\\\a=16cm\\\\\alpha=45^o[/tex]
Korzystając z twierdzenia sinusów, możemy wyznaczyć miarę kąta [tex]\beta[/tex]:
[tex]\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}\\\\\dfrac{16}{\sin45^o}=\dfrac{8}{\sin\beta}/:8\\\\\dfrac{2}{\frac{\sqrt2}2}=\dfrac{1}{\sin\beta}\\\\2\sin\beta=\dfrac{\sqrt2}2/:2\\\\\sin\beta=\dfrac{\sqrt2}4\approx0,3536[/tex]
Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych możemy odczytać, że:
[tex]\beta\approx21^o[/tex]
Miarę kąta [tex]\gamma[/tex] wyznaczymy, korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie wynosi [tex]180^o[/tex]:
[tex]\gamma=180^o-45^o-21^o=114^o[/tex]
Długość boku c znajdziemy, również korzystając z twierdzenia sinusów:
[tex]\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{c}{\sin\gamma}\\\\\dfrac{a}{\sin45^o}=\dfrac{c}{\sin114^o}[/tex]
Ze wzorów redukcyjnych mamy:
[tex]\sin(180^o-\alpha)=\sin\alpha, \quad \alpha\in(0^o,90^o)\\\\\sin114^o=\sin(180^o-66^o)=\sin66^o[/tex]
[tex]\dfrac{16}{\sin45^o}=\dfrac{c}{\sin66^o}\\\\\dfrac{16}{\frac{\sqrt2}2}=\dfrac{c}{0,9135}\\\\\dfrac{32}{\sqrt2}=\dfrac{c}{0,9135}\\\\\sqrt2c=29,232/:\sqrt2\\\\c=\dfrac{29,232}{\sqrt2}\approx20,67cm[/tex]