Question

Rozwiąż szeregi liczbowe danym kryterium ( warunek konieczny, Kryterium Cauchy'ego, d'Alamberta )

Answer 1

Przykład 1.

Sprawdźmy, czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregu, tzn. czy zachodzi

[tex]\lim_{n \to \infty} a_n =0[/tex]

Zatem

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{2^{-n}+1}{4+7^{-n}}= \lim_{n \to \infty} \frac{\overbrace{\left(\frac{1}{2}\right)^n}^{\rightarrow0}+1}{4+\underbrace{\left(\frac{1}{7}\right)^n}_{\rightarrow0}}=\frac{1}{4}\neq 0[/tex]

Warunek konieczny zbieżności szeregu nie zachodzi, więc szereg jest rozbieżny.

Przykład 2.

Sprawdźmy, czy spełnione jest kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregu, tzn. czy zachodzi

[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} < 1[/tex]

Zatem

[tex]\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2^{n+3}}{6n+4}}= \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{2^{n+3}}}{\sqrt[n]{6n+4}}}=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{2^n*8}}{\sqrt[n]n*\sqrt[n]{6+\frac{4}{n}}}}=\lim_{n \to \infty} \frac{\overbrace{\sqrt[n]{2^n}}^{\rightarrow2}*\overbrace{\sqrt[n]8}^{\rightarrow1}}{\underbrace{\sqrt[n]n}_{\rightarrow1}*\underbrace{\sqrt[n]{6+\underbrace{\frac{4}{n}}_{\rightarrow0}}}_{\rightarrow1}}}=\\=\frac{2*1}{1*1}=2 > 1[/tex]

Z  kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregu wnioskujemy, że szereg jest rozbieżny.

Przykład 3.

Sprawdźmy, czy spełnione jest kryterium d'Alemberta zbieżności szeregu, tzn. czy zachodzi

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1[/tex]

Zatem

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)^2*3^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^2*3^n}{n!}}= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{(n+1)^2*3^{n+1}}{(n+1)!}*\frac{n!}{n^2*3^n}\right)=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{(n+1)^2*3^n*3}{n!*n}*\frac{n!}{n^2*3^n}\right)=\\=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{(n+1)^2*3}{n}*\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{(n+1)^2}{n^2}*\frac{3}{n}\right)=\lim_{n \to \infty} \left((\frac{n+1}{n})^2*\frac{3}{n}\right)=[/tex][tex]=\lim_{n \to \infty} \left(\underbrace{\left(1+\underbrace{\frac{1}{n}}_{\rightarrow0}\right)^2}_{\rightarrow1}*\underbrace{\frac{3}{n}}_{\rightarrow0}}\right)=1*0=0 < 1[/tex]

Z  kryterium d'Alemberta zbieżności szeregu wnioskujemy, że szereg jest zbieżny.