Odpowiedź: [tex]x= \frac{\pi}{2} + k\pi[/tex] dla k - dowolnej liczby całkowitej.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Skorzystamy ze wzoru [tex]\sin2x =2 \sin x\cos x[/tex], podstawmy go do równania.
[tex]\sin x * \sin 2x= 2\cos x\\\sin x * 2 \sin x \cos x = 2 \cos x[/tex]
Skrócimy 2 i przerzucimy [tex]\cos x[/tex] na lewą stronę. Uwaga: nie skracamy [tex]\cos x[/tex], ponieważ możemy wtedy stracić rozwiązanie. Poza tym musielibyśmy upewnić się, że nie wynosi on wtedy 0.
[tex]\sin x * \sin x \cos x - \cos x=0[/tex]
Możemy wyciągnąć przed nawias [tex]\cos x[/tex].
[tex]\cos x(\sin x * \sin x - 1)=0[/tex]
Lewa strona równania będzie równała się 0 w jednym z dwóch przypadków:
1) [tex]\cos x = 0[/tex]
2) [tex]\sin^2x - 1= 0[/tex]
Znajdźmy zatem rozwiązania tych prostych równości.
1) odczytujemy z tablic lub odwołujemy się do wiedzy, którą należy znać na pamięć, że:
[tex]\cos x = 0[/tex] gdy [tex]x= \frac{\pi}{2} + k\pi[/tex] dla k będącego liczbą całkowitą.
2) zauważamy, że [tex]\sin^2 x = 1[/tex] ma takie same rozwiązania jak [tex]\sin x = 1[/tex] lub [tex]\sin x = -1[/tex]. Ponownie odwołujemy się do tablic lub nabytej wiedzy i odczytujemy:
[tex]\sin x = 1[/tex] gdy [tex]x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi[/tex] dla k będącego liczbą całkowitą.
[tex]\sin x = -1[/tex] gdy x = [tex]\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/tex] dla k będącego liczbą całkowitą
Obie odpowiedzi są rozwiązaniami zadania, i generalnie sprowadzają się do tego samego: [tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]
Odpowiedź: [tex]x= \frac{\pi}{2} + k\pi[/tex] dla k - dowolnej liczby całkowitej.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Skorzystamy ze wzoru [tex]\sin2x =2 \sin x\cos x[/tex], podstawmy go do równania.
[tex]\sin x * \sin 2x= 2\cos x\\\sin x * 2 \sin x \cos x = 2 \cos x[/tex]
Skrócimy 2 i przerzucimy [tex]\cos x[/tex] na lewą stronę. Uwaga: nie skracamy [tex]\cos x[/tex], ponieważ możemy wtedy stracić rozwiązanie. Poza tym musielibyśmy upewnić się, że nie wynosi on wtedy 0.
[tex]\sin x * \sin x \cos x - \cos x=0[/tex]
Możemy wyciągnąć przed nawias [tex]\cos x[/tex].
[tex]\cos x(\sin x * \sin x - 1)=0[/tex]
Lewa strona równania będzie równała się 0 w jednym z dwóch przypadków:
1) [tex]\cos x = 0[/tex]
2) [tex]\sin^2x - 1= 0[/tex]
Znajdźmy zatem rozwiązania tych prostych równości.
1) odczytujemy z tablic lub odwołujemy się do wiedzy, którą należy znać na pamięć, że:
[tex]\cos x = 0[/tex] gdy [tex]x= \frac{\pi}{2} + k\pi[/tex] dla k będącego liczbą całkowitą.
2) zauważamy, że [tex]\sin^2 x = 1[/tex] ma takie same rozwiązania jak [tex]\sin x = 1[/tex] lub [tex]\sin x = -1[/tex]. Ponownie odwołujemy się do tablic lub nabytej wiedzy i odczytujemy:
[tex]\sin x = 1[/tex] gdy [tex]x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi[/tex] dla k będącego liczbą całkowitą.
[tex]\sin x = -1[/tex] gdy x = [tex]\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/tex] dla k będącego liczbą całkowitą
Obie odpowiedzi są rozwiązaniami zadania, i generalnie sprowadzają się do tego samego: [tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]