Question

Rozwiąż równanie (ZAŁĄCZNIK)

Answer 1

x = √3, x = - √3, x = -2

Własności potęg

Przed przystąpieniem do rozwiązywania tego zadania przypomnijmy sobie mnożenie, dzielenie potęg o tych samych podstawach oraz potęgę potęgi:

1. Mnożenie potęg o tych samych podstawach (wykładniki dodajemy):

[tex]x^m*x^n=x^{m+n[/tex]

2. Dzielenie potęg o tych samych podstawach (wykładniki odejmujemy):

[tex]\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}[/tex]

3. Potęga potęgi (potęgi mnożymy):

[tex](x^m)^n=x^{m*n[/tex]

W naszym zadaniu musimy przedstawić to równanie za pomocą potęgi o podstawie równej 3. Liczbę 9 zapiszemy więc jako 3², a liczbę 27 jako 3³:

[tex]\frac{3^{x^3}*9^{x^2}}{27^{x+1}}=27\\ \\\frac{3^{x^3}*(3^2)^{x^2}}{(3^3)^{x+1}}=3^3\\\\\frac{3^{x^3}*3^{2x^2}}{3^{3x+3}}=3^3[/tex]

Zgodnie z regułami podanymi wyżej, tam gdzie mamy mnożenie potęg o tych samych podstawach wykładniki dodajemy, a tam gdzie odejmowanie to wykładniki odejmujemy:

[tex]\frac{3^{x^3}*3^{2x^2}}{3^{3x+3}}=3^3\\\\3^{x^3+2x^2-(3x+3)}=3^3\\3^{x^3+2x^2-3x-3}=3^3[/tex]

Gdy mamy rozwiązać takie równanie, przyrównujemy wykładniki do siebie, ponieważ mamy tą samą podstawę (liczbę 3):

x³ + 2x² - 3x - 3 = 3   | - 3

x³ + 2x² - 3x - 6 = 0

x²(x + 2) - 3(x + 2) = 0

(x² - 3)(x + 2) = 0

Przyrównujemy dwa nawiasy do zera:

x² - 3 = 0 | + 3

x² = 3  | √

x = √3  i  x = -√3

Pamiętajmy, że pierwiastkując wychodzą nam zawsze dwa rozwiązania o przeciwnych znakach.

x + 2 = 0

x = -2

Rozwiązaniem tego zadania są liczby -2, √3 oraz -√3.

#SPJ1