Question

Rozwiąż równanie x5 - x4 - 8x3 + 8x2 + 15x - 15 = 0

Answer 1

[tex]x^5 - x^4 - 8x^3 + 8x^2 + 15x - 15 = 0[/tex]

Grupujemy wyrazy

[tex](x^5 - x^4) - (8x^3 - 8x^2) + (15x - 15) = 0[/tex]

Z każdego nawiasu wyciągamy

wspólny czynnik przed nawias

[tex]x^4(x - 1) - 8x^2(x - 1) + 15(x - 1) = 0[/tex]

Wyciągamy wspólny czynnik z całego wielomianu

ten wspólny czynnik to [tex]x-1[/tex]

[tex](x-1)(x^4 - 8x^2 + 15) = 0[/tex]  

Mamy mnożenie dwóch liczb. Kiedy wynikiem takiego mnożenia będzie zero? Wtedy, kiedy przynajmniej jeden czynnik będzie równy zero, a więc sprawdzamy dla jakiego [tex]x[/tex] te liczby będą równe zero:

[tex]x-1=0 \ \ \ \vee \ \ \ x^4-8x^2+15=0 \\ \\ x=1 \ \ \ \vee \ \ \ x^4-8x^2+16-1=0 \ \ \ \ \ \ \mathbf{[wzor: \ \ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}]\\ \\ x=1 \ \ \ \vee \ \ \ (x^2-4)^2-1=0 \\ \\ x=1 \ \ \ \vee \ \ \ (x^2-4)^2=1 \ \ \ \ \ |\sqrt{}\\ \\ x=1 \ \ \ \vee \ \ \ x^2-4=1 \ \ \ \vee \ \ \ x^2-4=-1 \\ \\ x=1 \ \ \ \vee \ \ \ x^2=5 \ \ \ \vee \ \ \ x^2=3 \\ \\ x=1 \ \ \ \vee \ \ \ x=\sqrt{5} \ \ \ \vee \ \ \ x=-\sqrt{5} \ \ \ \vee \ \ \ x=\sqrt{3} \ \ \ \vee \ \ \ x=-\sqrt{3}[/tex]

Zatem, jak widać, mamy pięć rozwiązań tego równania.

Rozwiązanie:  [tex]\mathbf{x\in \{-\sqrt{5},-\sqrt{3},1,\sqrt{3},\sqrt{5}\}.}[/tex]