Question

Rozwiąż równanie: (x - 2) + (x - 2)² + (x - 2)³ + ... = 4

Answer 1

[tex](x-2)+(x-2)^{2}+(x-2)^{3}+...=4\\[/tex]

Lewa strona równania tworzy nieskończony ciąg geometryczny:

[tex]a_{1}=(x-2)\\q=(x-2)\\a_{n}=(x-2)*(x-2)^{n-1}[/tex]

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego ([tex]a_{n}[/tex]), przy założeniu, że jest on zbieżny, to:

[tex]Zalozenie:\\|q| < 1\\|x-2| < 1\\x-2 < 1\ oraz\ x-2 > -1\\x < 3\ oraz\ x > 1[/tex]

x ∈ (1;3)

[tex]Suma:\\S=\frac{a_{1}}{1-q} =\frac{x-2}{1-(x-2)}= \frac{x-2}{1-x+2}=\frac{x-2}{3-x}[/tex]

W takim razie:

[tex](x-2)+(x-2)^{2}+(x-2)^{3}+...=4\\\frac{x-2}{3-x}=4\\x-2=4(3-x)\\x-2=12-4x\\5x=14\\x=\frac{14}{5}[/tex]

[tex]1 < \frac{14}{5} < 3[/tex]

[tex]Odp:\ x=\frac{14}{5}[/tex]