Rozwiązywanie równań graficznie polega na narysowaniu w jednym układzie współrzędnych dwóch funkcji, a następnie odczytaniu ich punktu wspólnego. Funkcje, które należy naszkicować, to wyrażenia po lewej i prawej stronie równania. Rozwiązaniem równania jest wspomniany już punkt wspólny obu wykresów. W zależności od typu równania, takich punktów wspólnych możemy wskazać: jeden, dwa, ani jednego, nieskończenie wiele itd.
Rozwiązanie:
a) [tex]|x+4|=2[/tex]
Funkcje, które należy naszkicować, to:
[tex]f(x)=|x+4|\\\\g(x)=2[/tex]
Funkcja g to prosta równoległa do osi OX. Dla funkcji f wyznaczymy kilka punktów należących do jej wykresu:
Zatem do wykresu funkcji f należą punkty: (-6,2), (-5,1), (-4,0), (-3,1), (-2,2), (-1,3), (0,4). Punkty te należy zaznaczyć w układzie współrzędnych i połączyć w kształt wykresu funkcji (funkcje z wartością bezwzględną we wzorze mają kształt zbliżony do kształtu litery "V").
Punkty wspólne wykresów tych funkcji to [tex](-6,2),(-2,2)[/tex]. Zatem rozwiązania równania to: [tex]x=-6[/tex] i [tex]x=-2[/tex].
b) [tex]|3-x|=1[/tex]
Funkcje, które należy naszkicować, to:
[tex]f(x)=|3-x|\\\\g(x)=1[/tex]
Funkcja g to prosta równoległa do osi OX. Dla funkcji f wyznaczymy kilka punktów należących do jej wykresu:
Zatem do wykresu funkcji f należą punkty: (-2,5), (-1,4), (0,3), (1,2), (2,1), (3,0), (4,1). Punkty te należy zaznaczyć w układzie współrzędnych i połączyć w kształt wykresu funkcji.
Punkty wspólne wykresów tych funkcji to [tex](2,1),(4,1)[/tex]. Zatem rozwiązania równania to: [tex]x=2[/tex] i [tex]x=4[/tex].
c) [tex]|1+x|-4=0/+4\\\\|1+x|=4[/tex]
Funkcje, które należy naszkicować, to:
[tex]f(x)=|1+x|\\\\g(x)=4[/tex]
Funkcja g to prosta równoległa do osi OX. Dla funkcji f wyznaczymy kilka punktów należących do jej wykresu:
Zatem do wykresu funkcji f należą punkty: (-3,2), (-2,1), (-1,0), (0,1), (1,2), (2,3), (3,4). Punkty te należy zaznaczyć w układzie współrzędnych i połączyć w kształt wykresu funkcji.
Punkty wspólne wykresów tych funkcji to [tex](-5,4),(3,4)[/tex]. Zatem rozwiązania równania to: [tex]x=-5[/tex] i [tex]x=3[/tex].
d) [tex]-|x-1|=5[/tex]
Funkcje, które należy naszkicować, to:
[tex]f(x)=-|x-1|\\\\g(x)=5[/tex]
Funkcja g to prosta równoległa do osi OX. Dla funkcji f wyznaczymy kilka punktów należących do jej wykresu:
Zatem do wykresu funkcji f należą punkty: (-2,-3), (-1,-2), (0,-1), (1,0), (2,-1), (3,-2), (4,-3). Punkty te należy zaznaczyć w układzie współrzędnych i połączyć w kształt wykresu funkcji.
Wykresy nie mają punktów wspólnych, zatem równanie nie ma rozwiązań.
e) [tex]|2x-6|=0[/tex]
Funkcje, które należy naszkicować, to:
[tex]f(x)=|2x-6|\\\\g(x)=0[/tex]
Funkcja g to prosta równoległa do osi OX (i pokrywająca się z nią). Dla funkcji f wyznaczymy kilka punktów należących do jej wykresu:
Zatem do wykresu funkcji f należą punkty: (0,6), (1,4), (2,2), (3,0), (4,2), (5,4), (6,6). Punkty te należy zaznaczyć w układzie współrzędnych i połączyć w kształt wykresu funkcji.
Punkt wspólny wykresów tych funkcji to [tex](3,0)[/tex]. Zatem rozwiązanie równania to: [tex]x=3[/tex].
f) [tex]|0,5x+1|=2[/tex]
Funkcje, które należy naszkicować, to:
[tex]f(x)=|0,5x+1|\\\\g(x)=2[/tex]
Funkcja g to prosta równoległa do osi OX. Dla funkcji f wyznaczymy kilka punktów należących do jej wykresu:
Zatem do wykresu funkcji f należą punkty: (-5;1,5), (-4;1), (-3;0,5), (-2;0), (-1;0,5), (0;1), (1;1,5). Punkty te należy zaznaczyć w układzie współrzędnych i połączyć w kształt wykresu funkcji.
Punkty wspólne wykresów tych funkcji to [tex](-6,2),(2,2)[/tex]. Zatem rozwiązania równania to: [tex]x=-6[/tex] i [tex]x=2[/tex].
a) [tex]\huge\boxed{x\in\{-6,-2\}}[/tex]
b) [tex]\huge\boxed{x\in\{2,4\}}[/tex]
c) [tex]\huge\boxed{x\in\{-5,3\}}[/tex]
d) Brak rozwiązań.
e) [tex]\huge\boxed{x=3}[/tex]
f) [tex]\huge\boxed{x\in\{-6,2\}}[/tex]
Graficzne rozwiązywanie równań
Rozwiązywanie równań graficznie polega na narysowaniu w jednym układzie współrzędnych dwóch funkcji, a następnie odczytaniu ich punktu wspólnego. Funkcje, które należy naszkicować, to wyrażenia po lewej i prawej stronie równania. Rozwiązaniem równania jest wspomniany już punkt wspólny obu wykresów. W zależności od typu równania, takich punktów wspólnych możemy wskazać: jeden, dwa, ani jednego, nieskończenie wiele itd.
Rozwiązanie:
a) [tex]|x+4|=2[/tex]
Funkcje, które należy naszkicować, to:
[tex]f(x)=|x+4|\\\\g(x)=2[/tex]
Funkcja g to prosta równoległa do osi OX. Dla funkcji f wyznaczymy kilka punktów należących do jej wykresu:
[tex]f(-6)=|-6+4|=|-2|=2\\\\f(-5)=|-5+4|=|-1|=1\\\\f(-4)=|-4+4|=|0|=0\\\\f(-3)=|-3+4|=|1|=1\\\\f(-2)=|-2+4|=|2|=2\\\\f(-1)=|-1+4|=|3|=3\\\\f(0)=|0+4|=|4|=4[/tex]
Zatem do wykresu funkcji f należą punkty: (-6,2), (-5,1), (-4,0), (-3,1), (-2,2), (-1,3), (0,4). Punkty te należy zaznaczyć w układzie współrzędnych i połączyć w kształt wykresu funkcji (funkcje z wartością bezwzględną we wzorze mają kształt zbliżony do kształtu litery "V").
Punkty wspólne wykresów tych funkcji to [tex](-6,2),(-2,2)[/tex]. Zatem rozwiązania równania to: [tex]x=-6[/tex] i [tex]x=-2[/tex].
b) [tex]|3-x|=1[/tex]
Funkcje, które należy naszkicować, to:
[tex]f(x)=|3-x|\\\\g(x)=1[/tex]
Funkcja g to prosta równoległa do osi OX. Dla funkcji f wyznaczymy kilka punktów należących do jej wykresu:
[tex]f(-2)=|3-(-2)|=|5|=5\\\\f(-1)=|3-(-1)|=|4|=4\\\\f(0)=|3-0|=|3|=3\\\\f(1)=|3-1|=|2|=2\\\\f(2)=|3-2|=|1|=1\\\\f(3)=|3-3|=|0|=0\\\\f(4)=|3-4|=|-1|=1[/tex]
Zatem do wykresu funkcji f należą punkty: (-2,5), (-1,4), (0,3), (1,2), (2,1), (3,0), (4,1). Punkty te należy zaznaczyć w układzie współrzędnych i połączyć w kształt wykresu funkcji.
Punkty wspólne wykresów tych funkcji to [tex](2,1),(4,1)[/tex]. Zatem rozwiązania równania to: [tex]x=2[/tex] i [tex]x=4[/tex].
c) [tex]|1+x|-4=0/+4\\\\|1+x|=4[/tex]
Funkcje, które należy naszkicować, to:
[tex]f(x)=|1+x|\\\\g(x)=4[/tex]
Funkcja g to prosta równoległa do osi OX. Dla funkcji f wyznaczymy kilka punktów należących do jej wykresu:
[tex]f(-3)=|1+(-3)|=|-2|=2\\\\f(-2)=|1+(-2)|=|-1|=1\\\\f(-1)=|1+(-1)|=|0|=0\\\\f(0)=|1+0|=|1|=1\\\\f(1)=|1+1|=|2|=2\\\\f(2)=|1+2|=|3|=3\\\\f(3)=|1+3|=|4|=4[/tex]
Zatem do wykresu funkcji f należą punkty: (-3,2), (-2,1), (-1,0), (0,1), (1,2), (2,3), (3,4). Punkty te należy zaznaczyć w układzie współrzędnych i połączyć w kształt wykresu funkcji.
Punkty wspólne wykresów tych funkcji to [tex](-5,4),(3,4)[/tex]. Zatem rozwiązania równania to: [tex]x=-5[/tex] i [tex]x=3[/tex].
d) [tex]-|x-1|=5[/tex]
Funkcje, które należy naszkicować, to:
[tex]f(x)=-|x-1|\\\\g(x)=5[/tex]
Funkcja g to prosta równoległa do osi OX. Dla funkcji f wyznaczymy kilka punktów należących do jej wykresu:
[tex]f(-2)=-|-2-1|=-|-3|=-3\\\\f(-1)=-|-1-1|=-|-2|=-2\\\\f(0)=-|0-1|=-|-1|=-1\\\\f(1)=-|1-1|=-|0|=0\\\\f(2)=-|2-1|=-|1|=-1\\\\f(3)=-|3-1|=-|2|=-2\\\\f(4)=-|4-1|=-|3|=-3[/tex]
Zatem do wykresu funkcji f należą punkty: (-2,-3), (-1,-2), (0,-1), (1,0), (2,-1), (3,-2), (4,-3). Punkty te należy zaznaczyć w układzie współrzędnych i połączyć w kształt wykresu funkcji.
Wykresy nie mają punktów wspólnych, zatem równanie nie ma rozwiązań.
e) [tex]|2x-6|=0[/tex]
Funkcje, które należy naszkicować, to:
[tex]f(x)=|2x-6|\\\\g(x)=0[/tex]
Funkcja g to prosta równoległa do osi OX (i pokrywająca się z nią). Dla funkcji f wyznaczymy kilka punktów należących do jej wykresu:
[tex]f(0)=|2\cdot0-6|=|-6|=6\\\\f(1)=|2\cdot1-6|=|-4|=4\\\\f(2)=|2\cdot2-6|=|-2|=2\\\\f(3)=|2\cdot3-6|=|0|=0\\\\f(4)=|2\cdot4-6|=|2|=2\\\\f(5)=|2\cdot5-6|=|4|=4\\\\f(6)=|2\cdot6-6|=|6|=6[/tex]
Zatem do wykresu funkcji f należą punkty: (0,6), (1,4), (2,2), (3,0), (4,2), (5,4), (6,6). Punkty te należy zaznaczyć w układzie współrzędnych i połączyć w kształt wykresu funkcji.
Punkt wspólny wykresów tych funkcji to [tex](3,0)[/tex]. Zatem rozwiązanie równania to: [tex]x=3[/tex].
f) [tex]|0,5x+1|=2[/tex]
Funkcje, które należy naszkicować, to:
[tex]f(x)=|0,5x+1|\\\\g(x)=2[/tex]
Funkcja g to prosta równoległa do osi OX. Dla funkcji f wyznaczymy kilka punktów należących do jej wykresu:
[tex]f(-5)=|0,5\cdot(-5)+1|=|-1,5|=1,5\\\\f(-4)=|0,5\cdot(-4)+1|=|-1|=1\\\\f(-3)=|0,5\cdot(-3)+1|=|-0,5|=0,5\\\\f(-2)=|0,5\cdot(-2)+1|=|0|=0\\\\f(-1)=|0,5\cdot(-1)+1|=|0,5|=0,5\\\\f(0)=|0,5\cdot0+1|=|1|=1\\\\f(1)=|0,5\cdot1+1|=|1,5|=1,5[/tex]
Zatem do wykresu funkcji f należą punkty: (-5;1,5), (-4;1), (-3;0,5), (-2;0), (-1;0,5), (0;1), (1;1,5). Punkty te należy zaznaczyć w układzie współrzędnych i połączyć w kształt wykresu funkcji.
Punkty wspólne wykresów tych funkcji to [tex](-6,2),(2,2)[/tex]. Zatem rozwiązania równania to: [tex]x=-6[/tex] i [tex]x=2[/tex].
Wykresy odpowiednich funkcji w załącznikach.