Pamiętajmy, że możemy wyrazić sinus podwójny za pomocą identyczności trygonometrycznych, co pomoże nam uprosić to równanie:
cos(2x) = 1 + 2√2sin^2(x)cos(x)
Teraz użyjemy identyczności trygonometrycznej cos(2x):
cos(2x) = 2cos^2(x) - 1
Teraz możemy zastąpić to wyrażenie w równaniu:
2cos^2(x) - 1 = 1 + 2√2sin^2(x)cos(x)
Teraz przesuniemy wszystkie wyrazy na jedną stronę równania i uproszczymy:
2cos^2(x) - 1 - 1 - 2√2sin^2(x)cos(x) = 0
2cos^2(x) - 2√2sin^2(x)cos(x) - 2 = 0
Podzielmy równanie przez 2, aby uporządkować wyrazy:
cos^2(x) - √2sin^2(x)cos(x) - 1 = 0
Teraz możemy użyć zastąpienia sin^2(x) = 1 - cos^2(x) w równaniu:
cos^2(x) - √2(1 - cos^2(x))cos(x) - 1 = 0
Rozwiniemy to równanie:
cos^2(x) - √2cos(x) + √2cos^3(x) - 1 = 0
Teraz przekształcimy to równanie w równanie wielomianowe:
√2cos^3(x) + cos^2(x) - √2cos(x) - 1 = 0
Podzielmy równanie przez √2, aby uporządkować wyrazy:
cos^3(x)/√2 + cos^2(x)/(√2) - cos(x) - 1/√2 = 0
Teraz możemy spróbować znaleźć pierwiastki tego równania albo użyć kalkulatora do rozwiązania numerycznego. Rozwiązanie numeryczne wydaje się być bardziej praktyczne w tym przypadku, ponieważ równanie jest nieliniowe i może nie mieć prostego analitycznego rozwiązania.
Znalezienie pierwiastków tego równania wykracza poza możliwości przekształceń algebraicznych i wymaga zastosowania metody numerycznej, takiej jak metoda Newtona lub inna metoda rozwiązywania równań nieliniowych.
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Rozwiążmy podane równanie krok po kroku:
cos(2x) = 1 + 2√2sin^2(x)cos(x)
Pamiętajmy, że możemy wyrazić sinus podwójny za pomocą identyczności trygonometrycznych, co pomoże nam uprosić to równanie:
cos(2x) = 1 + 2√2sin^2(x)cos(x)
Teraz użyjemy identyczności trygonometrycznej cos(2x):
cos(2x) = 2cos^2(x) - 1
Teraz możemy zastąpić to wyrażenie w równaniu:
2cos^2(x) - 1 = 1 + 2√2sin^2(x)cos(x)
Teraz przesuniemy wszystkie wyrazy na jedną stronę równania i uproszczymy:
2cos^2(x) - 1 - 1 - 2√2sin^2(x)cos(x) = 0
2cos^2(x) - 2√2sin^2(x)cos(x) - 2 = 0
Podzielmy równanie przez 2, aby uporządkować wyrazy:
cos^2(x) - √2sin^2(x)cos(x) - 1 = 0
Teraz możemy użyć zastąpienia sin^2(x) = 1 - cos^2(x) w równaniu:
cos^2(x) - √2(1 - cos^2(x))cos(x) - 1 = 0
Rozwiniemy to równanie:
cos^2(x) - √2cos(x) + √2cos^3(x) - 1 = 0
Teraz przekształcimy to równanie w równanie wielomianowe:
√2cos^3(x) + cos^2(x) - √2cos(x) - 1 = 0
Podzielmy równanie przez √2, aby uporządkować wyrazy:
cos^3(x)/√2 + cos^2(x)/(√2) - cos(x) - 1/√2 = 0
Teraz możemy spróbować znaleźć pierwiastki tego równania albo użyć kalkulatora do rozwiązania numerycznego. Rozwiązanie numeryczne wydaje się być bardziej praktyczne w tym przypadku, ponieważ równanie jest nieliniowe i może nie mieć prostego analitycznego rozwiązania.
Znalezienie pierwiastków tego równania wykracza poza możliwości przekształceń algebraicznych i wymaga zastosowania metody numerycznej, takiej jak metoda Newtona lub inna metoda rozwiązywania równań nieliniowych.