Równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości z jedną niewiadomą występującą w pierwszej potędze.
W zależności od liczby rozwiązań równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą wyróżniamy:
równanie oznaczone ⇒ równanie mające dokładnie jedno rozwiązanie.
równanie tożsamościowe ⇒ to takie, które spełnia każda liczba.
równanie sprzeczne ⇒ równanie nie mające rozwiązań.
Rozwiązując równanie pierwszego stopnia należy mieć na uwadze następujące zasady:
jeśli niewiadoma pierwszego stopnia znajduje się w mianowniku pamiętamy o wyznaczeniu dziedziny
upraszczamy wyrażenia po obu stronach równania.
redukujemy wyrazy podobne po obu stronach równania.
przenosimy niewiadome na lewą a wiadome na prawą stronę równania.
redukujemy wyrazy podobne.
jeśli przy x jest liczba to dzielimy obie strony równania przez liczbę znajdującą się przy x
zapisujemy rozwiązanie.
Aby upewnić się, że obliczenia zostały wykonane poprawnie ⇒ wykonujemy sprawdzenie.
podstawiamy w miejsce niewiadomej obliczoną wartość a następnie wykonujemy działania zgodnie z kolejnością wykonywania działań.
jeśli otrzymamy te same liczby po obu stronach równania ⇒ lewa strona równa prawej ⇒ obliczenia wykonane zostały poprawnie.
Przekształcanie wzorów polega na wyznaczeniu jednej zmiennej, która występuje we wzorze jako niewiadoma.
Przekształcając wzory, postępujemy podobnie jak przy rozwiązywaniu równań.
do obu stron równania możemy dodać lub odjąć to samo wrażenie.
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez to samo wyrażenie ⇒ pamiętamy o założeniach ⇒ wartość wyrażenia musi być rożna od zera.
Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{~~zad.1~~}\\\\a)\\\\x=6~~\land~~x=\dfrac{A+5}{2} ~~\land~~x=\dfrac{A+B}{2}~~\land~~x=\dfrac{A+B}{C},~~zal.~C\neq 0[/tex]
[tex]b)\\\\x=19~~\land~~x=3A+4~~\land~~x=AB+4~~\land~~x=AB+C[/tex]
[tex]c)\\\\x=2~~\land~~x=\dfrac{A}{2} ~~\land~~x=\dfrac{A}{5-B} ,~(B\neq 5)~~\land~~x=\dfrac{A}{C-B} ,~(B\neq C)[/tex]
[tex]d)\\\\x=2,5~~\land~~x=\dfrac{5}{4-A} ,(A\neq 0,A\neq 4)~~\land~~x=\dfrac{B}{4-A} ,(A\neq 0,A\neq 4)~~\land~~x=\dfrac{B}{C-A} ,(A\neq 0,A\neq C)[/tex]
[tex]\huge\boxed{~~zad.2~~}\\\\a)~~A=\dfrac{C+BD}{D} ,~~zal.~~D\neq 0\\\\b)~~B=\dfrac{AD-C}{D} ,~~zal.~~D\neq 0\\\\c)~~C=AD-BD ,~~zal.~~D\neq 0\\\\d)~~D=\dfrac{C}{A-B} ,~~zal.~~D\neq 0,~A\neq B[/tex]
[tex]\huge\boxed{~~zad.3~~}\\\\a)~~Y=\dfrac{b}{a} ~~zal.~~Y\neq 0,~~a\neq 0\\\\b)~~Y=\dfrac{4p}{3q} ~~zal.~~Y\neq 0,~~q\neq 0\\\\c)~~Y=\dfrac{bc}{a} ~~zal.~~Y\neq 0,~~a\neq 0,~~b\neq 0\\\\d)~~Y=\dfrac{5xw}{12z} ~~zal.~~Y\neq 0,~~w\neq 0,~~z\neq 0[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
Równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości z jedną niewiadomą występującą w pierwszej potędze.
W zależności od liczby rozwiązań równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą wyróżniamy:
Rozwiązując równanie pierwszego stopnia należy mieć na uwadze następujące zasady:
Aby upewnić się, że obliczenia zostały wykonane poprawnie ⇒ wykonujemy sprawdzenie.
Przekształcanie wzorów polega na wyznaczeniu jednej zmiennej, która występuje we wzorze jako niewiadoma.
Przekształcając wzory, postępujemy podobnie jak przy rozwiązywaniu równań.
Rozwiązanie:
[tex]zad.1\\\\a)\\\\2x-5=7~~\mid +5\\\\2x=12~~\mid \div 2\\\\\boxed{~~x=6~~}\\\\\\2x-5=A~~\mid +5\\\\2x=A+5~~\mid \div 2\\\\\boxed{~~x=\dfrac{A+5}{2} ~~}\\\\\\2x-B=A~~\mid +B\\\\2x=A+B~~\mis \div 2\\\\\boxed{~~x=\dfrac{A+B}{2} ~~}\\\\\\Cx-B=A~~\mid +B\\\\Cx=A+B~~\mid \div C,~~C\neq 0\\\\\boxed{~~x=\dfrac{A+B}{C} ~~zal.~C\neq 0~~}[/tex]
[tex]b)\\\\\dfrac{x-4}{3} =5~~\mid \cdot 3\\\\x-4=15~~\mid +4\\\\\boxed{~~x=19~~}\\\\\dfrac{x-4}{3} =A~~\mid \cdot 3\\\\x-4=3A~~\mid +4\\\\\boxed{~~x=3A+4~~}\\\\\dfrac{x-4}{B} =A~~(B\neq 0)~~\mid \cdot B\\\\x-4=AB~~\mid +4\\\\\boxed{~~x=AB+4~~}\\\\\dfrac{x-C}{B} =A~~(B\neq 0)~~\mid \cdot B\\\\x-C=AB~~\mid +C\\\\\boxed{~~x=AB+C~~}[/tex]
[tex]c)\\\\5x=3x+8~~\mid -3x\\\\2x=8~~\mid \div 2\\\\\boxed{~~x=2~~}\\\\5x=3x+a~~\mid -3x\\\\2x=A~~\mid \div 2\\\\\boxed{~~x=\dfrac{A}{2} ~~}\\\\5x=Bx+A~~\mid -Bx\\\\5x-Bx=A\\\\x(5-B)=A~~\mid \div (5-B),~~zal.~5-B\neq 0~~\Rightarrow~~B\neq 5\\\\\boxed{~~x=\dfrac{A}{5-B} ~~}\\\\Cx=Bx+A~~\mid -Bx\\\\Cx-Bx=A\\\\x(C-B)=A~~\mid \div (C-B),~~zal.~C-B\neq 0~~\Rightarrow~~B\neq C\\\\\boxed{~~x=\dfrac{A}{C-B} ~~}[/tex]
[tex]d)\\\\\dfrac{4x-5}{2} =x~~\mid \cdot 2\\\\4x-5=2x~~\mid- 2x\\\\2x-5=0~~\mid +5\\\\2x=5~~\mid \div 2\\\\\boxed{~~x=2,5~~}\\\\\dfrac{4x-5}{A} =x,~(A\neq 0)~~\mid \cdot A\\\\4x-5=Ax~~\mid -Ax\\\\4x-Ax-5=0~~\mid +5\\\\4x-Ax=5\\\\x(4-A)=5~~\mid \div (4-A)~~zal.~~4-A\neq 0~~\Rightarrow~~A\neq 4\\\\\boxed{~~x=\dfrac{5}{4-A} ~~}\\[/tex]
[tex]\dfrac{4x-B}{A} =x,~(A\neq 0)~~\mid \cdot A\\\\4x-B=Ax~~\mid -Ax\\\\4x-Ax-B=0~~\mid +B\\\\4x-Ax=B\\\\x(4-A)=B~~\mid \div (4-A)~~zal.~~4-A\neq 0~~\Rightarrow~~A\neq 4\\\\\boxed{~~x=\dfrac{B}{4-A} ~~}[/tex]
[tex]\dfrac{Cx-B}{A} =x,~(A\neq 0)~~\mid \cdot A\\\\Cx-B=Ax~~\mid -Ax\\\\Cx-Ax-B=0~~\mid +B\\\\Cx-Ax=B\\\\x(C-A)=B~\mid \div (C-A)~~zal.~~C-A\neq 0~~\Rightarrow~~A\neq C\\\\\boxed{~~x=\dfrac{B}{C-A} ~~}[/tex]
[tex]zad.2\\\\A-B=\dfrac{C}{D},~~zal.~~D\neq 0\\\\a)\\\\A-B=\dfrac{C}{D}~~\mid +B\\\\A=\dfrac{C}{D}+B\\\\\boxed{~~A=\dfrac{C+BD}{D}~~}\\\\b)\\\\A-B=\dfrac{C}{D}~~\mid -A\\\\-B=\dfrac{C}{D}-A~~\mid \cdot (-1)\\\\B=A-\dfrac{C}{D}\\\\\boxed{~~B=\dfrac{AD-C}{D}~~}\\\\c)\\\\A-B=\dfrac{C}{D}~~\mid \cdot D\\\\AD-BD=C\\\\\boxed{~~C=AD-BD~~}\\\\d)\\\\A-B=\dfrac{C}{D}~~\mid \cdot D\\\\D(A-B)=C~~\mid \cdot (A-B),~~zal.~~A-B\neq 0~~\Rightarrow~~A\neq B\\\\\boxed{~~D=\dfrac{C}{A-B} ~~}[/tex]
[tex]zad.3\\\\a)\\\\a=\dfrac{b}{Y}~~\mid \cdot Y ~~zal.~~Y\neq 0\\\\aY=b~~\mid \div a~~zal.~~a\neq 0\\\\\boxed{~~Y=\dfrac{b}{a}~~}[/tex]
[tex]b)\\\\\dfrac{4p}{Y} =3q~~\mid \cdot Y~~zal.~~Y\neq 0\\\\4p=3pY~~\mid \div 3q~~zal.~~q\neq 0\\\\\boxed{~~Y=\dfrac{4p}{3q} ~~}[/tex]
[tex]c)\\\\\dfrac{a}{b} =\dfrac{c}{Y} ~~\mid \cdot bY~~zal.~~Y\neq 0,~~b\neq 0\\\\aY=bc~~\mid \div a~~zal.~~a\neq 0\\\\\boxed{~~Y=\dfrac{bc}{a} ~~}[/tex]
[tex]d)\\\\\dfrac{5x}{3Y} =\dfrac{4z}{w} ~~\mid \cdot 3wY~~zal.~~Y\neq 0,~~z\neq 0\\\\12zY=5xw~~\mid \div 12z~~zal.~~z\neq 0\\\\\boxed{~~Y=\dfrac{5xw}{12z} ~~}[/tex]