Question

Rozwiąż równania różniczkowe. Przykłady w załącznikach

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]$y_1(x)=\sqrt{2\cdot(x^4+1)} $[/tex]

[tex]$y_2(x)=\sqrt{\frac{1}{3}\bigg(13-x^4\bigg) } $[/tex]

[tex]$y_3(x)=\sqrt[3]{\frac{1}{4}\bigg(15x^4+17\bigg) } $[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Zadanie 1

[tex]$y'(x)\cdot y(x)=4x^3$[/tex]

Obustronnie całkujemy

[tex]$\int \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}\cdot y(x)\mathrm{d}x=\int 4x^3\mathrm{d}x $[/tex]

Zauważamy wzór na pochodną iloczynu:

[tex]$2\cdot\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}\cdot y(x)=\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}\cdot y(x)+y(x)\cdot \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\big[y(x)\big]^2}{\mathrm{d}x} $[/tex]

Zatem po całkowaniu otrzymujemy:

[tex]$\frac{\big[y(x)\big]^2}{2}=x^4+C_1$[/tex]

Gdzie [tex]C_1[/tex] jest stałą całkowania

Wyznaczamy funkcję [tex]y(x)[/tex]

[tex]$y(x)=\sqrt{2x^4+C_1}$[/tex]

lub

[tex]$y(x)=-\sqrt{2x^4+C_1}$[/tex]

Stała pomnożona przez liczbę może pozostać bez zmian (wyznaczymy ją z warunku początkowego).

[tex]y(-1)=2[/tex]

Więc w pierwszym przypadku:

[tex]$2=\sqrt{2\cdot (-1)^4+C_1}$[/tex]

[tex]$4=2+C_1$[/tex]

[tex]C_1=2[/tex]

W drugim przypadku nie można wyznaczyć rozwiązania dla wskazanego warunku początkowego, zatem odpowiedź to:

[tex]$y(x)=\sqrt{2x^4+2}=\sqrt{2\cdot(x^4+1)} $[/tex]

Zadanie 2

[tex]$y'(x)=\frac{2x^3}{-3y} $[/tex]

Zapisujemy inaczej:

[tex]$y'(x)\cdot3y(x)=-2x^3$[/tex]

Całkujemy obustronnie

[tex]$\int \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}\cdot y(x)\mathrm{d}x=\int 2x^3\mathrm{d}x $[/tex]

Tak samo jak w pierwszym zadaniu bazujemy na pochodnej iloczynu.

[tex]$\frac{3\big[y(x)\big]^2}{2}=-\frac{x^4}{2} +C_1$[/tex]

Wyznaczamy [tex]y(x)[/tex] (ze stałą postępujemy tak samo jak w zadaniu 1)

[tex]$y(x)=\sqrt{-\frac{x^4}{3}+C_1 } $[/tex]

lub

[tex]$y(x)=-\sqrt{-\frac{x^4}{3}+C_1 } $[/tex]

Wstawiamy warunek początkowy

[tex]y(1)=2[/tex]

Dla drugiego przypadku nie otrzymamy rozwiązania

Podstawiając do pierwszego:

[tex]$2=\sqrt{-\frac{1}{3}+C_1 } $[/tex]

[tex]$C_1=\frac{13}{3} $[/tex]

Zatem odpowiedź to:

[tex]$y(x)=\sqrt{-\frac{x^4}{3}+\frac{13}{3} } =\sqrt{\frac{1}{3}\bigg(13-x^4\bigg) } $[/tex]

Zadanie 3

[tex]$y'(x)\cdot \big(y(x)\big)^2=5x^3$[/tex]

Całkujemy obustronnie

[tex]$\int \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}\cdot \big(y(x)\big)^2\mathrm{d}x=\int 2x^3\mathrm{d}x $[/tex]

Analogicznie korzystamy z pochodnej iloczynu

[tex]$\frac{\big[y(x)\big]^3}{3}=\frac{5x^4}{4} +C_1$[/tex]

Wyznaczamy szukaną funkcję (ze stałą postępujemy analogicznie)

[tex]$y(x)=\sqrt[3]{\frac{15x^4}{4}+C_1 } $[/tex]

Wstawiamy warunek początkowy i wyznaczamy stałą

[tex]y(1)=2[/tex]

[tex]$2=\sqrt[3]{\frac{15}{4}+C_1 } $[/tex]

[tex]$C_1=\frac{17}{4} $[/tex]

Nasza odpowiedź:

[tex]$y(x)=\sqrt[3]{\frac{15x^4}{4}+\frac{17}{4}}=\sqrt[3]{\frac{1}{4}\bigg(15x^4+17\bigg) } $[/tex]