Question

Rozwiąż równania oraz wyznacz dziedzinę

Answer 1

Odpowiedź:

a )  [tex]\frac{-x^{2} + 20}{x^{2} } = 0[/tex]                          x² ≠ 0     ⇒  x  ≠  0                  D = R \ { 0 }

- x² + 20 = 0

x² = 20 = 4*5

x = - [tex]\sqrt{4*5} = - 2\sqrt{5}[/tex]             lub   x =   [tex]\sqrt{4*5} = 2 \sqrt{5}[/tex]

===============================================================

b )

[tex]\frac{x^{2} - 4 x + 3 }{2 x^{2} + x} = 0[/tex]                   2 x² + x = x*(2 x +  1 ) ≠ 0  ⇒  x ≠ 0      i    x ≠ - 0,5

                                               D = R \ { - 0,5  ;  0 }

[tex]\frac{(x - 1)*( x - 3)}{x*(2 x + 1)} = 0[/tex]

( x - 1)*( x - 3) = 0

x - 1 = 0     lub  x - 3  = 0

x = 1          lub     x = 3

=======================

Szczegółowe wyjaśnienie:

Answer 2

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{~~a)~~x=2\sqrt{5} ~~\lor~~x=-2\sqrt{5}~~}[/tex]

[tex]\huge\boxed{~~b)~~x=1~~\lor~~x=3~~}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Rozwiązując równanie  należy mieć na uwadze następujące zasady:

• jeśli niewiadoma  znajduje się w mianowniku pamiętamy o wyznaczeniu dziedziny

• upraszczamy wyrażenia po obu stronach równania.

• redukujemy wyrazy podobne po obu stronach równania.

• przenosimy niewiadome na lewą a wiadome na prawą stronę równania.

• redukujemy wyrazy podobne.

• zapisujemy rozwiązanie.

Korzystamy ze wzorów:

• [tex]y=ax^{2} +bx+c\\\\\Delta=b^{2}-4ac\\\\gdy~~\Delta > 0~~\Rightarrow~~x_{1} =\dfrac{-b-\Delta}{2a} ~~\lor~~x_{2} =\dfrac{-b+\Delta}{2a}\\\\gdy~~\Delta=0~~\Rightarrow~~x_{o} =\dfrac{-b}{2a} \\\\gdy~~\Delta > 0~~\Rightarrow~~x\in \varnothing[/tex]

• [tex](x-y)\cdot (x+y)=x^{2} -y^{2}[/tex]
• [tex]\sqrt{x^{2}} =x,~~za,~x\geq 0[/tex]

Rozwiązanie:

[tex]a)\\\\\dfrac{-x^{2} +20}{x^{2} } =0\\\\zal.~~x^{2} \neq 0~~\Rightarrow~~x\neq 0\\\\\boxed{~~D=\mathbb{R} -\{0\}~~}\\\\\dfrac{-x^{2} +20}{x^{2} } =0\\\\~~~~~~~~~~\Downarrow\\\\-x^{2} +20=0\\\\20-x^{2} =0\\\\(\sqrt{20} )^{2}-x^{2} =0\\\\(2\sqrt{5} )^{2}-x^{2} =0\\\\(2\sqrt{5} -x)\cdot (2\sqrt{5} +x)=0\\\\2\sqrt{5} -x=0~~\lor~~2\sqrt{5} -x=0\\\\[/tex]

[tex](~~x=2\sqrt{5} ~~\lor~~x=-2\sqrt{5} ~~)~~\land~~x\in D\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow\\\\~~~~\huge\boxed{~~x=2\sqrt{5} ~~\lor~~x=-2\sqrt{5}~~}[/tex]

[tex]b)\\\\\dfrac{x^{2} -4x+3}{2x^{2} +x} =0\\\\zal.\\2x^{2} +x\neq 0\\\\x(2x+1)\neq 0\\\\x\neq 0~~\lor~~x\neq -\dfrac{1}{2} \\\\\boxed{~~D=\mathbb{R}-\{0,-\frac{1}{2} \}~~}\\\\\\\dfrac{x^{2} -4x+3}{2x^{2} +x} =0\\\\~~~~~~~~\Downarrow\\\\x^{2} -4x+3=0\\\\\Delta=(-4)^{2}-4\cdot 1 \cdot 3=16-12=4\\\\\sqrt{\Delta} =2[/tex]

[tex]x_{1} =\dfrac{4-2}{2\cdot 1} ~~\or~~x_{2} =\dfrac{4+2}{2\cdot 1} \\\\(~~x_{1} =1~~\lor~~x_{2} =3~~)~~\land~~x\in D\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow\\\\~~~~~~\huge\boxed{~~x=1~~\lor~~x=3~~}[/tex]