Question

Rozwiąż poniższe równanie zespolone.

Answer 1

Rozwiązanie:

Niech [tex]z=a+bi,\ a,b \in \mathbb{R}[/tex].

[tex](a+bi)^2+7(a-bi)=0[/tex]

[tex]a^2+2abi-b^2+7a-7bi=0[/tex]

[tex](a^2+7a-b^2)+(2ab-7b)i=0[/tex]

[tex]$\left \{ {{a^2+7a-b^2=0 \atop {2ab-7b=0}} \right.[/tex]

Z drugiego równania:

[tex]$b(2a-7)=0 \iff b=0 \vee a=\frac72[/tex]

Dla [tex]b=0[/tex] :

[tex]$a=0 \vee a=-7[/tex]

Dla [tex]$ a=\frac72[/tex] :

[tex]$\frac{49}{4}+\frac{49}{2}-b^2=0 \implies b=\pm \frac{7\sqrt{3}}{2}[/tex]

Zatem rozwiązaniami są:

[tex]z_0=-7[/tex]

[tex]z_1=0[/tex]

[tex]$z_2=\frac{7}{2}+\frac{7\sqrt{3}}{2}i[/tex]

[tex]$z_3=\frac{7}{2}-\frac{7\sqrt{3}}{2}i[/tex]