Question

Rozwiąż nierówność.
h) ✓3x⁵-✓6x⁴-✓6x³+2✓3x² większe lub równe 0

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]x\in < -\sqrt[4]{2};\sqrt[4]{2} > \cup < \sqrt{2};+\infty)[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]\sqrt{3}x^5-\sqrt{6}x^4-\sqrt{6}x^3+2\sqrt{3}x^2=\\\\\sqrt{3}x^4(x-\sqrt{2})-\sqrt{6}x^2(x-\sqrt{2})=(\sqrt{3}x^4-\sqrt{6}x^2)(x-\sqrt{2})=\\\\\sqrt{3}x^2(x^2-\sqrt{2})(x-\sqrt{2})=\sqrt{3}x^2(x-\sqrt[4]{2})(x+\sqrt[4]{2})(x-\sqrt{2})[/tex]

Wyrażenie ma cztery pierwiastki w tym jeden podwójny:

[tex]-\sqrt[4]{2}\quad0\quad \sqrt[4]{2}\quad\sqrt{2}[/tex]

dla [tex]x=1[/tex] (pomiędzy [tex]0[/tex] a [tex]\sqrt[4]{2}[/tex]) wyrażenie przyjmuje wartość dodatnią. Ponieważ dla pierwiastków o stopniu parzystym (x=0) wyrażenie nie zmienia znaku a dla pierwiastków o stopniu nieparzystym (wszystkie pozostałe) zmienia na przeciwny, wyrażenie przyjmuje wartości nieujemne dla:

[tex]x\in < -\sqrt[4]{2};\sqrt[4]{2} > \cup < \sqrt{2};+\infty)[/tex]