Question

Rozwiąż nierówność
chodzi mi o ten drugi przykład

Answer 1

Nierówność:

[tex]\dfrac{(x^2-1)(x^2+3)(x-1)^2(2x-1)(1-2x)(x-4)}{x^2-5x+4}\le0[/tex]

Mianownik:

[tex]\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot4=25-16=9\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3[/tex]

[tex]x_1=\dfrac{-(-5)-3}{2\cdot1}=\dfrac{5-3}{2}=\dfrac{2}{2}=1[/tex]

[tex]x_2=\dfrac{-(-5)+3}{2\cdot1}=\dfrac{5+3}{2}=\dfrac{8}{2}=4[/tex]

[tex]x^2-5x+4=(x-1)(x-4)[/tex]

Dziedzina:

[tex]x\in\mathbb{R}\setminus\{1,4\}[/tex]

Rozwiązanie:

[tex]\dfrac{(x^2-1)(x^2+3)(x-1)^2(2x-1)(1-2x)(x-4)}{(x-1)(x-4)}\le0[/tex]

1. Rozbicie pierwszego nawiasu z licznika na dwa nawiasy:

[tex](x^2-1)=(x^2-1^2)=(x-1)(x+1)[/tex]

[tex]\dfrac{(x-1)(x+1)(x^2+3)(x-1)^2(2x-1)(1-2x)(x-4)}{(x-1)(x-4)}\le0[/tex]

[tex]\dfrac{(x+1)(x^2+3)(x-1)^3(2x-1)(1-2x)(x-4)}{(x-1)(x-4)}\le0[/tex]

2. Skrócenie mianownika z licznikiem:

[tex](x+1)(x^2+3)(x-1)^2(2x-1)(1-2x)\le0[/tex]

3. Miejsca zerowe i ich krotność:

[tex]x+1=0\\x=-1[/tex]

krotność = 1

[tex]x^2+3=0\\x^2=-3[/tex]

sprzeczne

[tex]x-1=0\\x=1[/tex]

krotność = 2

[tex]2x-1=0\\2x=1\quad|:2\\x=\dfrac{1}{2}[/tex]

[tex]1-2x=0\\-2x=-1\quad|:(-2)\\x=\dfrac{1}{2}[/tex]

krotność = 2

4. Narysować wykres (załącznik).

Odpowiedź:

[tex]x\in\langle-1,1)\cup(1,\infty)[/tex]