Question

. Rozwiąż nierówność .​

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

[tex]x\in\left (-4,-1\right >[/tex]

(Przedział lewostronnie otwarty i prawostronnie domknięty).

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]\frac{x^2-2x-3}{x^2+x-12}\leq 10[/tex]

Założenie:

[tex]x^2+x-12\neq 0\\\Delta=1^2-4*1*(-12)=1+48=49\\\sqrt\Delta=7\\x_1=\frac{-1-7}{2}=\frac{-8}{2}=-4\\x_2=\frac{-1+7}{2}=\frac{6}{2}=3\\D=\mathbb{R}-\{-4,3\}[/tex]

Rozwiązanie:

Ponieważ mamy nierówność postaci "ułamek <= 0", możemy ją równoważnie zamienić na następującą nierówność:

[tex](x^2-2x-3)(x^2+x-12)\leq 0[/tex]

Rozłóżmy pierwszy nawias na czynniki.

[tex]\Delta=(-2)^2-4*1*(-3)=4+12=16\\\sqrt\Delta=4\\x_1=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1\\x_2=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3\\x^2-2x-3=(x+1)(x-3)[/tex]

Rozłóżmy drugi nawias na czynniki.

[tex]x^2+x-12=(x+4)(x-3)[/tex]

Zatem nierówność przyjmuje postać:

[tex](x+1)(x-3)(x+4)(x-3)\leq 0\\(x+1)(x+4)(x-3)^2\leq 0[/tex]

Szkicujemy poglądowy wykres i odczytujemy rozwiązanie.

[tex]x\in\left < -4,-1\right > \cup\{3\}[/tex]

Uwzględnienie dziedziny:

Uwzględniając dziedzinę, otrzymujemy ostateczne rozwiązanie:

[tex]x\in\left (-4,-1\right >[/tex]