Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne, których suma wszystkich krawędzi jest równa 120. Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola powierzchni bocznej od długości x krawędzi jego podstawy. Oblicz wymiary tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni bocznej jest największe i oblicz to największe pole. Zapisz obliczenia.
Niech a oznacza długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, a h - jego wysokość. Wówczas pole powierzchni bocznej takiego graniastosłupa wynosi:
P = 6ah
Suma wszystkich krawędzi tych graniastosłupów wynosi 120, co oznacza, że łączna długość krawędzi podstaw tych graniastosłupów wynosi 60 (każda krawędź pojawia się 2 razy). Stąd:
6a = 60
a = 10
Funkcja opisująca zależność pola powierzchni bocznej od długości x krawędzi podstawy to:
P(x) = 6xh
Załóżmy, że wysokość h jest stała. Wtedy pole powierzchni bocznej jest proporcjonalne do długości krawędzi podstawy. W celu znalezienia krawędzi podstawy, dla której pole powierzchni bocznej jest największe, należy znaleźć ekstremum tej funkcji. Można to zrobić na przykład obliczając pochodną funkcji P(x) i równając ją zeru:
P'(x) = 6h
P'(x) = 0 ⇔ h = 0
Oznacza to, że funkcja P(x) nie ma ekstremum dla stałej wysokości h, a zatem musimy znaleźć graniastosłup o jak największej wysokości. Widzimy, że największa wysokość uzyskana zostanie dla sześcianu o krawędzi 10, który również jest graniastosłupem prawidłowym sześciokątnym. Stąd:
h = a = 10
Największe pole powierzchni bocznej wynosi:
P = 6ah = 6 * 10 * 10 = 600
Zatem, wymiary graniastosłupa o największym polu powierzchni bocznej to a = 10 i h = 10, a jego pole powierzchni bocznej wynosi 600.
0 votes Thanks 0
zuzanna20040123
Niestety źle, według zbioru odpowiedzi pole powinno wynosić 300.
Odpowiedź:
Niech a oznacza długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, a h - jego wysokość. Wówczas pole powierzchni bocznej takiego graniastosłupa wynosi:
P = 6ah
Suma wszystkich krawędzi tych graniastosłupów wynosi 120, co oznacza, że łączna długość krawędzi podstaw tych graniastosłupów wynosi 60 (każda krawędź pojawia się 2 razy). Stąd:
6a = 60
a = 10
Funkcja opisująca zależność pola powierzchni bocznej od długości x krawędzi podstawy to:
P(x) = 6xh
Załóżmy, że wysokość h jest stała. Wtedy pole powierzchni bocznej jest proporcjonalne do długości krawędzi podstawy. W celu znalezienia krawędzi podstawy, dla której pole powierzchni bocznej jest największe, należy znaleźć ekstremum tej funkcji. Można to zrobić na przykład obliczając pochodną funkcji P(x) i równając ją zeru:
P'(x) = 6h
P'(x) = 0 ⇔ h = 0
Oznacza to, że funkcja P(x) nie ma ekstremum dla stałej wysokości h, a zatem musimy znaleźć graniastosłup o jak największej wysokości. Widzimy, że największa wysokość uzyskana zostanie dla sześcianu o krawędzi 10, który również jest graniastosłupem prawidłowym sześciokątnym. Stąd:
h = a = 10
Największe pole powierzchni bocznej wynosi:
P = 6ah = 6 * 10 * 10 = 600
Zatem, wymiary graniastosłupa o największym polu powierzchni bocznej to a = 10 i h = 10, a jego pole powierzchni bocznej wynosi 600.