Question

Rozpatrujemy trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (2, 1), (1, 3). Jaki jest kąt przy pierwszym wierzchołku? Jakie jest pole trójkąta?

Answer 1

Odpowiedź:

A  = ( 0, 0)   B = ( 2, 1 )   C = ( 1, 3)

więc

I AB I² = 2² + 1² = 5

I AC I² = 1² + 3² = 10

I BC I² = ( 1 - 2)²  + ( 3 - 1)² = 1 + 4 = 5

Tw.  kosinusów :

I BC I² = I AB I² + I AC I² - 2*I AB I * I AC I * cos α

5 =  5 + 10 - 2*√5*√10*cos α

0  =  10 - 2[tex]\sqrt{50}[/tex]*cos α

2*[tex]\sqrt{25*2}[/tex] cos α = 10

10 √2 cos α = 10

cos α = [tex]\frac{1}{\sqrt{2} } = \frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]

α = 45°

=========

II sposób:  I AB I =   I BC I

oraz

5 + 5 = 10

Δ  jest prostokątny równoramienny, więc  α = 45°.

===============================================

Pole Δ

D  - środek  odcinka  AC

D = ( 0,5 ;  1,5 )

I DB I² = ( 2 - 0,5)² + ( 1 - 1,5)² = 1,5² + ( -0,5)² = 2,25 + 0,25 = 2,5 = [tex]\frac{5}{2}[/tex]

więc  I DB I = [tex]\frac{\sqrt{5} }{\sqrt{2} } = 0,5\sqrt{10}[/tex]

P = 0,5 I AC I * I DB I  = 0,5*[tex]\sqrt{10} *0,5\sqrt{10} =[/tex] 2,5

==================================================

II sposób:

P = 0,5*I AB I* I AC I = 0,5*√5*√5 = 2,5

====================================

Szczegółowe wyjaśnienie: