Rozłóż wielomian na czynniki i wyznacz jego pierwiastki
w(x)=2x^3-x^2-4x+2
w(x)=6x^3+4x^2-3x-2
w(x)=x^4+5x^3-2x^2-10x
w(x)=3x^4-4x^3-12x^2+16x
w(x)=2x^3-x^2-4x+2
w(x)=6x^3+4x^2-3x-2
w(x)=x^4+5x^3-2x^2-10x
w(x)=3x^4-4x^3-12x^2+16x
Rozkład wielomianu na czynniki
Rozłożenie wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu wzoru wielomianu w postaci iloczynu nawiasów. Taki zapis nazywamy "postacią iloczynową".
Do rozkładania wielomianów na czynniki, najczęściej stosujemy poniższe metody:
Metoda wyciągania wspólnego czynnika przed nawias
Przed nawias możemy wyciągnąć zarówno liczbę jak i niewiadomą.
Przykład:
[tex]w(x)=2x^2-4x\\w(x)=2x(x-2)[/tex]
Metoda wzorów skróconego mnożenia
Podczas rozkładania wielomianów na czynniki pierwszej, najczęściej wykorzystuje się wzór na różnicę kwadratów
[tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex]
Przykład:
[tex]w(x)=x^2-16\\w(x)=x^2-4^2\\w(x)=(x-4)(x+4)[/tex]
Metoda delty
Tę metodę stosujemy przy rozkładzie wyrażeń drugiego stopnia, wymiennie ze wzorami skróconego mnożenia.
Załóżmy, że należy rozłożyć na czynniki wielomian
[tex]w(x)=ax^2+bx+c[/tex]
Wówczas, deltę liczymy ze wzoru:
[tex]\Delta=b^2-4ac[/tex]
Jeżeli Δ>0, miejsca zerowe wielomianu obliczamy ze wzorów:
[tex]x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
a wielomian zapisujemy w postaci iloczynowej:
[tex]w(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
Jeżeli Δ=0, to istnieje jedno miejsce zerowe, które obliczamy ze wzoru:
[tex]x_0=\frac{-b}{2a}[/tex]
a wielomian zapisujemy w następujący sposób:
[tex]w(x)=a(x-x_0)^2[/tex]
Metoda grupowania wyrazów
Tę metodę stosujemy najczęściej do rozkładu wielomianów 3 lub wyższego stopnia.
Jeżeli w wielomianie występują 4 wyrazy, to dzielimy je na dwie pary i z nich wyciągamy wspólny czynnik w taki sposób.
Przykład:
[tex]w(x)=2x^3-3x^2-6x+9 \\w(x)=x^2\underline{(2x-3)}-3\underline{(2x-3)}[/tex]
Jeżeli przy takim rozkładzie powtarza nam się to samo wyrażenie, możemy całe to wyrażenie wyciągnąć przed nawias.
[tex]w(x)=(2x-3)(x^2-3)[/tex]
Wyrażenie x²-3 możemy raz jeszcze rozłożyć wykorzystując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
[tex]w(x)=(2x-3)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)[/tex]
Rozwiązanie:
a)
[tex]w(x)=2x^3-x^2-4x+2\\w(x)=x^2(2x-1)-2(2x-1)\\w(x)=(x^2-2)(2x-1)\\\boxed{w(x)=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(2x-1)}[/tex]
Pierwiastki:
[tex]x-\sqrt2=0 /+\sqrt2\\x=\sqrt2\\\\x+\sqrt2=0 /-\sqrt2\\x=-\sqrt2\\\\2x-1=0 /+1\\2x=1 /:2\\x=\frac12\\\\\boxed{x=-\sqrt2 \vee x=\sqrt2 \vee x=\frac12}[/tex]
b)
[tex]w(x)=6x^3+4x^2-3x-2\\w(x)=2x^2(3x+2)-1(3x+2)\\w(x)=(2x^2-1)(3x+2)\\\boxed{w(x)=(\sqrt2x-1)(\sqrt2x+1)(3x+2)}[/tex]
Pierwiastki:
[tex]\sqrt2x-1=0 /+1\\\sqrt2x=1 /:\sqrt2\\x=\frac{1}{\sqrt2} *\frac{\sqrt2}{\sqrt2}\\x=\frac{\sqrt2}2\\\\\sqrt2x+1=0 /-1\\\sqrt2x=-1 /:\sqrt2\\x=-\frac{1}{\sqrt2}*\frac{\sqrt2}{\sqrt2}\\x=-\frac{\sqrt2}2\\\\3x+2=0 /-2\\3x=-2 /:3\\x=-\frac23\\\\\boxed{x=-\frac{\sqrt2}2 \vee x=\frac{\sqrt2}2 \vee x=-\frac23}[/tex]
c)
[tex]w(x)=x^4+5x^3-2x^2-10x\\w(x)=x^3(x+5)-2x(x+5)\\w(x)=(x^3-2x)(x+5)\\w(x)=x(x^2-2)(x+5)\\\boxed{w(x)=x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x+5)}[/tex]
Pierwiastki:
[tex]x=0\\\\x-\sqrt2=0 /+\sqrt2\\x=\sqrt2\\\\x+\sqrt2=0 /-\sqrt2\\x=-\sqrt2\\\\x+5=0 /-5\\x=-5\\\\\boxed{x=0 \vee x=\sqrt2 \vee x=-\sqrt2 \vee x=-5}[/tex]
d)
[tex]w(x)=3x^4-4x^3-12x^2+16x\\w(x)=x^3(3x-4)-4x(3x-4)\\w(x)=(x^3-4x)(3x-4)\\w(x)=x(x^2-4)(3x-4)\\\boxed{w(x)=x(x-2)(x+2)(3x-4)}[/tex]
Pierwiastki:
[tex]x=0\\\\x-2=0 /+2\\x=2\\\\x+2=0 /-2\\x=-2\\\\3x-4=0 /+4\\3x=4 /:3\\x=\frac43\\\\\boxed{x=0 \vee x=-2 \vee x=2 \vee x=\frac43}[/tex]