Rozłóż poniższe wyrażenia na jak największa ilość czynników. (Trzeba zamienić te wielomiany na iloczyny)
m⁶-m⁴-m²+1
x⁵+x⁴+x³+x²+x+1
a⁸+a⁴+1
Liczę na pełne rozwiązanie ze wszystkimi przekształceniami a nie samą odpowiedź
m⁶-m⁴-m²+1
x⁵+x⁴+x³+x²+x+1
a⁸+a⁴+1
Liczę na pełne rozwiązanie ze wszystkimi przekształceniami a nie samą odpowiedź
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
m⁶ - m⁴ - m² + 1 = m⁴(m² - 1) - 1(m² - 1) = (m⁴ - 1)(m² - 1) = (m² - 1)(m² + 1)(m - 1)(m + 1) = (m - 1)(m + 1)(m² + 1)(m - 1)(m + 1) = (m² + 1)(m - 1)(m - 1)(m + 1)(m + 1)
x⁵ + x⁴ + x³ + x²+ x + 1 = x⁴(x + 1) + x²(x + 1) + 1(x + 1) = (x⁴ + x² + 1)(x + 1) = [(x⁴ + 2x² + 1) - x²] (x + 1) = [(x² + 1)² - x²] (x + 1) = [(x² + 1) - x] [(x² + 1) + x] (x + 1) = (x² - x + 1)(x² + x + 1)(x + 1)
Sprawdzam czy wielomiany x² + x - 1 i x² + x + 1 da się rozłożyć na czynniki sprawdzając czy mają miejsca zerowe.
x² - x + 1 = 0
Δ = (-1)² - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 , -3 < 0 (brak pierwiastków)
x² + x + 1 = 0
Δ = 1² - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 , -3 < 0 (brak pierwiastków)
Wielomianów x² - x + 1 i x² + x + 1 nie da się rozłożyć na czynniki
a⁸ + a⁴ + 1 = (a⁸ + 2a⁴ + 1) - a⁴ = (a⁴ + 1)² - (a²)² = [(a⁴ + 1) - a²] [(a⁴ + 1) + a²] = (a⁴ - a² + 1)(a⁴ + a² + 1) = [(a⁴ - 2a² + 1) + a²] [(a⁴ + 2a² + 1) - a²] = [(a² - 1)² + a²] [(a² + 1)² - a²] = [(a² - 1)² + a²] [(a² + 1) - a] [(a² + 1) + a] = [(a² - 1)² + a²] (a² - a + 1) (a² + a + 1)
Sprawdzam czy wyrażenia a² - a + 1 i a² + a + 1 da się rozłożyć na czynniki sprawdzając czy mają miejsca zerowe :
a² - a + 1 = 0
Δ = (-1)² - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 , -3 < 0 (brak pierwiastków)
a² + a + 1 = 0
Δ = 1² - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 , -3 < 0 (brak pierwiastków)
Wyrażeń a² - a + 1 i a² + a + 1 nie da się rozłożyć na czynniki